• Média de \mathrm{Y}(\bar{Y})=2.95
  • Desvio padrão de \mathrm{Y}\left(s_{Y}\right)=0.99
  • Coeficiente de correlação (r)=0.65
  1. Horas de Estudo e Desempenho em Classe Em um estudo sobre desempenho acadêmico, foi encontrada uma correlação estatisticamente significativa entre o tempo de estudo ( X , em horas por semana) e o desempenho geral em classe ( Y , em uma escala de 0 a 5 ). Utilize as seguintes estatísticas resumidas para calcular a linha de melhor ajuste que prevê o desempenho a partir do tempo de estudo:
  • Média de \mathrm{X}(\bar{X})=1.61
  • Desvio padrão de \mathrm{X}\left(s_{X}\right)=1.12
a) Determine a equaçāo da linha de regressāo.

Passo 1

O enunciado pede: a) determinar a equação da linha de regressão que prevê o desempenho em classe Y a partir do tempo de estudo X.
Dados fornecidos:
  • \bar{Y}=2,95 (média de Y),
  • s_{Y}=0,99 (desvio-padrão de Y),
  • \bar{X}=1,61 (média de X),
  • s_{X}=1,12 (desvio-padrão de X),
  • r=0,65 (coeficiente de correlação entre X e Y).

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e o que cada símbolo significa):
  • A equação da reta de regressão linear simples (mínimos quadrados) que prevê Y a partir de X é
\hat{Y}=b_{0}+b_{1}X,
onde \hat{Y} é o valor previsto de Y para um dado X, b_{1} é o coeficiente angular (inclinação) e b_{0} é o intercepto (valor previsto quando X=0).
  • Para calcular a inclinação b_{1} usamos a relação entre correlação e desvios-padrão:
b_{1}=r\cdot\frac{s_{Y}}{s_{X}}.
Aqui r é o coeficiente de correlação, s_{Y} é o desvio-padrão de Y e s_{X} é o desvio-padrão de X. Intuição: a inclinação escala a correlação pelo motivo entre dispersões em Y e X.
  • Para calcular o intercepto b_{0} usamos as médias:
b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\,\bar{X}.
Isto garante que a reta passe pelo ponto médio (\bar{X},\bar{Y}).

Passo 3

Calcular a inclinação b_{1}.
Primeiro multiplicar r por s_{Y}:
r\cdot s_{Y}=0,65\cdot 0,99=0,6435.
Agora dividir pelo s_{X}:
b_{1}=\frac{0,6435}{1,12}=0,574375.
Arredondando adequadamente (por exemplo, três casas decimais) obtemos b_{1}\approx 0,574.

Passo 4

Calcular o intercepto b_{0}.
Multiplicar b_{1} por \bar{X}:
b_{1}\,\bar{X}=0,574375\cdot 1,61=0,92474375.
Subtrair de \bar{Y}:
b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\,\bar{X}=2,95-0,92474375=2,02525625.
Arredondando (três casas decimais) obtemos b_{0}\approx 2,025.

Passo 5

Escrever a equação da reta com os coeficientes calculados e interpretar rapidamente.
A reta de regressão é
\hat{Y}=2,02525625+0,574375\,X,
ou, com arredondamento a três casas decimais,
\hat{Y}\approx 2,025+0,574\,X.
Interpretação curta e útil para a prova: o coeficiente angular 0,574 significa que, segundo este modelo, cada hora adicional de estudo por semana aumenta o desempenho previsto em cerca de 0,574 pontos na escala de 0 a 5. O intercepto 2,025 é o desempenho previsto quando X=0 (tempo de estudo zero).

Resposta

\hat{Y}=2,02525625+0,574375\,X (aproximadamente \hat{Y}\approx 2,025+0,574\,X)

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