• Média de \mathrm{Y}(\bar{Y})=2.95
  • Desvio padrão de \mathrm{Y}\left(s_{Y}\right)=0.99
  • Coeficiente de correlação (r)=0.65
  1. Horas de Estudo e Desempenho em Classe Em um estudo sobre desempenho acadêmico, foi encontrada uma correlação estatisticamente significativa entre o tempo de estudo ( X , em horas por semana) e o desempenho geral em classe ( Y , em uma escala de 0 a 5 ). Utilize as seguintes estatísticas resumidas para calcular a linha de melhor ajuste que prevê o desempenho a partir do tempo de estudo:
  • Média de \mathrm{X}(\bar{X})=1.61
  • Desvio padrão de \mathrm{X}\left(s_{X}\right)=1.12
b) Preveja o desempenho em classe para um estudante que estuda 2.5 horas por semana.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Média de X: \bar{X}=1,61.
    • Desvio padrão de X: s_X=1,12.
    • Média de Y: \bar{Y}=2,95.
    • Desvio padrão de Y: s_Y=0,99.
    • Coeficiente de correlação: r=0,65.
  • Pergunta (parte b): Prever o desempenho em classe Y para um estudante que estuda X=2,5 horas por semana.

Passo 2

Modelo que vamos usar e significado das quantidades:
  • Vamos ajustar a regressão linear simples que prediz Y a partir de X. A forma é
\hat{Y}=b_0+b_1 X,
onde:
  • \hat{Y} é a previsão do desempenho;
  • b_1 é a inclinação (slope): quanto, em média, Y muda quando X aumenta 1 unidade;
  • b_0 é o intercepto: valor previsto de Y quando X=0.
  • Fórmulas que usamos (fórmulas padrão da regressão por mínimos quadrados usando estatísticas resumidas):
b_1 = r\cdot\frac{s_Y}{s_X}, \qquad b_0 = \bar{Y} - b_1\,\bar{X}.
Explicação curta: b_1 combina a força da associação ( r) com as escalas das variáveis ( s_Y/s_X). Não precisa do conjunto de dados completo quando se tem médias, desvios padrão e correlação.

Passo 3

Calcular a inclinação b_1 passo a passo:
  • Primeiro a razão dos desvios padrão:
\frac{s_Y}{s_X}=\frac{0,99}{1,12}.
  • Calculando numericamente:
\frac{0,99}{1,12}\approx 0,8839.
  • Agora multiplicar por r:
b_1 = 0,65\times 0,8839 \approx 0,5746.
Arredondando para três casas decimais fica \;b_1\approx0,575. Interpretação: em média, cada hora a mais de estudo por semana está associada a um aumento de cerca de 0,575 pontos na escala de desempenho (0–5), segundo este modelo.

Passo 4

Calcular o intercepto b_0:
  • Aplicando a fórmula:
b_0 = \bar{Y} - b_1\,\bar{X}.
  • Substituindo os valores (usando a versão não arredondada de b_1 para maior precisão):
b_0 = 2,95 - 0,5746\times 1,61.
  • Calculando o produto:
0,5746\times 1,61 \approx 0,9250.
  • Então
b_0 \approx 2,95 - 0,9250 = 2,0250.
Arredondando: \;b_0\approx 2,025. Interpretação: se alguém estudasse 0 horas (interpretação teórica), o modelo prevê desempenho por volta de 2,025.

Passo 5

Equação da reta de regressão (resultado do ajuste):
\hat{Y} \approx 2,025 + 0,575\,X.
(Usei arredondamento a três casas decimais na inclinação e três decimais no intercepto para ficar legível; os cálculos numéricos da previsão a seguir usarão precisão suficiente.)

Passo 6

Previsão para X=2,5 horas por semana:
  • Substituir X=2,5 na equação:
\hat{Y} = 2,025 + 0,5746\times 2,5.
  • Calcular o termo:
0,5746\times 2,5 \approx 1,4365.
  • Somando:
\hat{Y} \approx 2,025 + 1,4365 = 3,4615.
Arredondando para duas casas decimais (comum em previsões de desempenho): \hat{Y}\approx 3,46.

Passo 7

Interpretação final e um conselho rápido:
  • A previsão é que um estudante que estuda 2,5 horas por semana tenha desempenho aproximado de 3,46 na escala de 0 a 5, segundo este modelo linear.
  • Observações importantes (pra prova e pra vida): essa é uma previsão média baseada em associação; não prova causalidade. Além disso, 2,5 está relativamente próximo da média \bar{X}=1,61 (menos de uma unidade de desvio padrão), então a previsão não é uma extrapolação perigosa.

Resposta

\hat{Y}=3,46

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