1. Altura e Peso de Indivíduos Um estudo coletou dados de altura ( \mathrm{X}, \mathrm{em} \mathrm{cm} ) peso ( Y, em kg) de 8 indivíduos:
Indivíduo Altura (\mathrm{X}) Peso (\mathrm{Y})
1 160 55
2 165 60
3 170 65
4 175 70
5 180 75
6 185 80
7 190 85
8 195 90
c) Se um indivíduo tem 172 cm de altura, qual seria o peso previsto pelo modelo? Este é um exemplo de interpolação ou extrapolação?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Prever o peso de um indivíduo com 172\\ \text{cm} de altura usando um modelo ajustado aos dados fornecidos.
  • Dizer se essa previsão é um caso de interpolação ou extrapolação.
Dados fornecidos (pegos diretamente da tabela):
  • Valores de X (altura, em cm): 160,165,170,175,180,185,190,195.
  • Valores de Y (peso, em kg): 55,60,65,70,75,80,85,90.
  • Número de observações: n=8.

Passo 2

Vamos ajustar um modelo de regressão linear simples do tipo
\hat{Y}=a+bX,
onde:
  • \hat{Y} é o peso previsto para uma altura X;
  • b é o coeficiente angular (declive) da reta, que indica quantos kg o peso aumenta por cada 1 cm de altura;
  • a é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0).
Fórmulas de mínimos quadrados (explicando cada termo):
b=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}, \qquad a=\bar{Y}-b\bar{X},
com
S_{XY}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}), \qquad S_{XX}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2,
e onde \bar{X} e \bar{Y} são as médias amostrais:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
Breve explicação: S_{XX} mede a variabilidade das alturas em torno da média; S_{XY} mede a covariabilidade entre altura e peso. A razão S_{XY}/S_{XX} dá a inclinação que melhor se ajusta aos dados no sentido de mínimos quadrados.

Passo 3

Calcular as médias \bar{X} e \bar{Y}.
Como os X estão em progressão aritmética de 160 até 195, a média é
\bar{X}=\frac{160+195}{2}= \frac{355}{2}=177{,}5.
Para Y (também em progressão aritmética de 55 a 90),
\bar{Y}=\frac{55+90}{2}= \frac{145}{2}=72{,}5.

Passo 4

Calcular S_{XX} e S_{XY}. Primeiro fazemos as diferenças centradas (X_i-\bar{X}) e (Y_i-\bar{Y}). Esses vetores são (mostrando alguns termos e observando a simetria):
X_i-\bar{X}:\\\ -17{,}5,\\\ -12{,}5,\\\ -7{,}5,\\\ -2{,}5,\\\ 2{,}5,\\\ 7{,}5,\\\ 12{,}5,\\\ 17{,}5.
Y_i-\bar{Y}:\\\ -17{,}5,\\\ -12{,}5,\\\ -7{,}5,\\\ -2{,}5,\\\ 2{,}5,\\\ 7{,}5,\\\ 12{,}5,\\\ 17{,}5.
Repare que cada diferença de Y é numericamente igual à diferença correspondente de X (isso indica relação linear perfeita com declive 1, mas vamos calcular explicitamente).
Agora:
S_{XX}=\sum (X_i-\bar{X})^2 = (-17{,}5)^2+(-12{,}5)^2+(-7{,}5)^2+(-2{,}5)^2+(2{,}5)^2+(7{,}5)^2+(12{,}5)^2+(17{,}5)^2.
Calcular os quadrados:
17{,}5^2=306{,}25,\quad 12{,}5^2=156{,}25,\quad 7{,}5^2=56{,}25,\quad 2{,}5^2=6{,}25.
Somando (notando pares simétricos):
S_{XX}=2\big(306{,}25+156{,}25+56{,}25+6{,}25\big)=2(525)=1050.
Como Y_i-\bar{Y}=X_i-\bar{X} para todo i, temos
S_{XY}=\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=\sum (X_i-\bar{X})^2=1050.

Passo 5

Calcular os coeficientes b e a:
b=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}=\frac{1050}{1050}=1.
a=\bar{Y}-b\bar{X}=72{,}5-1\cdot177{,}5=72{,}5-177{,}5=-105.
Logo o modelo ajustado é
\hat{Y}=-105+1\cdot X,
ou de forma mais simples \hat{Y}=X-105.

Passo 6

Prever o peso para X=172\\ \text{cm}. Substituindo no modelo:
\hat{Y}(172) = -105 + 172 = 67.
Portanto o peso previsto é 67\\ \text{kg}.

Passo 7

Determinar se é interpolação ou extrapolação. Interpolação é prever para um X que está dentro do intervalo dos X observados; extrapolação é prever para fora desse intervalo.
O menor X observado é 160 e o maior é 195. Como 172 satisfaz
160 \le 172 \le 195,
a previsão em 172\\ \text{cm} é uma interpolação (está dentro do intervalo dos dados). Interpolação costuma ser mais confiável que extrapolação.

Resposta

67\\ \text{kg}
Interpolação.

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