- Altura e Peso de Indivíduos Um estudo coletou dados de altura (
) peso ( Y, em kg) de 8 indivíduos:
Indivíduo
Altura
Peso
1
160
55
2
165
60
3
170
65
4
175
70
5
180
75
6
185
80
7
190
85
8
195
90
c) Se um indivíduo tem 172 cm de altura, qual seria o peso previsto pelo modelo? Este é um exemplo de interpolação ou extrapolação?
| Indivíduo | Altura
|
Peso
|
| 1 | 160 | 55 |
| 2 | 165 | 60 |
| 3 | 170 | 65 |
| 4 | 175 | 70 |
| 5 | 180 | 75 |
| 6 | 185 | 80 |
| 7 | 190 | 85 |
| 8 | 195 | 90 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Prever o peso de um indivíduo com
de altura usando um modelo ajustado aos dados fornecidos. - Dizer se essa previsão é um caso de interpolação ou extrapolação.
Dados fornecidos (pegos diretamente da tabela):
- Valores de
(altura, em cm): . - Valores de
(peso, em kg): . - Número de observações:
.
Passo 2
Vamos ajustar um modelo de regressão linear simples do tipo
onde:
-
é o peso previsto para uma altura ; -
é o coeficiente angular (declive) da reta, que indica quantos kg o peso aumenta por cada 1 cm de altura; -
é o intercepto (valor previsto de quando ).
Fórmulas de mínimos quadrados (explicando cada termo):
com
e onde
e
são as médias amostrais:
Breve explicação:
mede a variabilidade das alturas em torno da média;
mede a covariabilidade entre altura e peso. A razão
dá a inclinação que melhor se ajusta aos dados no sentido de mínimos quadrados.
Passo 3
Calcular as médias
e
.
Como os
estão em progressão aritmética de
até
, a média é
Para
(também em progressão aritmética de
a
),
Passo 4
Calcular
e
. Primeiro fazemos as diferenças centradas
e
. Esses vetores são (mostrando alguns termos e observando a simetria):
Repare que cada diferença de
é numericamente igual à diferença correspondente de
(isso indica relação linear perfeita com declive
, mas vamos calcular explicitamente).
Agora:
Calcular os quadrados:
Somando (notando pares simétricos):
Como
para todo
, temos
Passo 5
Calcular os coeficientes
e
:
Logo o modelo ajustado é
ou de forma mais simples
.
Passo 6
Prever o peso para
. Substituindo no modelo:
Portanto o peso previsto é
.
Passo 7
Determinar se é interpolação ou extrapolação. Interpolação é prever para um
que está dentro do intervalo dos
observados; extrapolação é prever para fora desse intervalo.
O menor
observado é
e o maior é
. Como
satisfaz
a previsão em
é uma interpolação (está dentro do intervalo dos dados). Interpolação costuma ser mais confiável que extrapolação.
Resposta
Interpolação.