(a) Encontre o vetor gradiente de no ponto .
(b) Em que direção a água irá fluir naturalmente neste ponto? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a altitude do terreno por
e pede: (a) o vetor gradiente em ; (b) em que direção a água flui nesse ponto.
Para isso vamos usar que
e que a água segue a direção de maior decréscimo de , isto é, .
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Logo
Passo 3
Em temos
Passo 4
O gradiente aponta na direção de maior subida. A água flui exatamente na direção oposta, isto é, em direção a .
Normalizando para obter o vetor unitário, calculamos o módulo:
portanto o versor na direção do fluxo é
l(22raiz5,,42raiz5r) =l(1raiz5,,2raiz5r)
Resposta
(a) nabla h(1,1)=(-2,,-4).
(b) A água flui na direção de -( nabla h(1,1))=(2,4), ou seja, no versor l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r), pois é o sentido de maior decréscimo de h.