A altura do terreno de uma encosta é dada por:
h(x, y)=100-x^2-2 y^2
(a) Encontre o vetor gradiente de h(x, y) no ponto (1,1).
(b) Em que direção a água irá fluir naturalmente neste ponto? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a altitude do terreno por
h(x,y)=100 - x^2 - 2y^2
e pede: (a) o vetor gradiente nabla h em (1,1); (b) em que direção a água flui nesse ponto.
Para isso vamos usar que
nabla h(x,y)=l(partial hpartial x,,partial hpartial yr)
e que a água segue a direção de maior decréscimo de h, isto é, -nabla h.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de h:
partial hpartial x = partialpartial xl(100 - x^2 - 2y^2r) = -2x, partial hpartial y = partialpartial yl(100 - x^2 - 2y^2r) = -4y
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nabla h(x,y)=(-2x,,-4y)

Passo 3

Em (1,1) temos
nabla h(1,1)=l(-2cdot1,,-4cdot1r)=(-2,,-4)

Passo 4

O gradiente nabla h aponta na direção de maior subida. A água flui exatamente na direção oposta, isto é, em direção a -nabla h(1,1).
-nabla h(1,1) = (2,,4)
Normalizando para obter o vetor unitário, calculamos o módulo:
llVert(2,4)rrVert = raiz2^2 + 4^2 = raiz20 = 2raiz5,
portanto o versor na direção do fluxo é
l(22raiz5,,42raiz5r) =l(1raiz5,,2raiz5r)

Resposta

(a) nabla h(1,1)=(-2,,-4).
(b) A água flui na direção de -( nabla h(1,1))=(2,4), ou seja, no versor l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r), pois é o sentido de maior decréscimo de h.

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