1. (a) O plano y+z=3 intercepta o cilindro x^2+y^2=5 em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto (1,2,1).
    (b) Desenhe o cilindro, o plano e a reta tangente na mesma tela.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva que é a interseção da superfície cilíndrica
x^2+y^2=5
com o plano
y+z=3
no ponto P=(1,2,1). O conteúdo usado será: superfícies definidas por nível, gradiente, espaço tangente como interseção de planos tangentes e produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Denotamos
G(x,y,z)=x^2+y^2-5=0 e F(x,y,z)=y+z-3=0
As normais aos dois superfícies em P são
nabla G=(2x,2y,0)Rightarrownabla G(P)=(2,4,0),
nabla F=(0,1,1)Rightarrownabla F(P)=(0,1,1)

Passo 3

A direção da reta tangente é dada pelo vetor que é ortogonal a nabla G(P) e a nabla F(P), ou seja o produto vetorial
v=nabla F(P)timesnabla G(P) =(0,1,1)times(2,4,0)
Calculando componente a componente,
v =l(1cdot0-1cdot4,;1cdot2-0cdot0,;0cdot4-1cdot2r) =(-4,2,-2)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
v=(2,-1,1) ou seu oposto(-2,1,-1),
\text{equivalentes para a mesma reta.

Passo 4

Usando P=(1,2,1) e o vetor direção v=(-2,1,-1), as equações paramétricas da reta tangente são
x(t)=1-2t, y(t)=2+t, z(t)=1-t

Passo 5

Para desenhar o cilindro, o plano e a reta na mesma tela, podemos usar Python com Matplotlib. Um exemplo de código é:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D

# malha para o cilindro
theta \(=\) np.linspace(\(0\), \(2\)*np.pi, \(50\))
\(z_c =\) np.linspace(-\(1\), \(4\), \(50\))
Theta, Zc \(=\) np.meshgrid(theta, \(z_c\))
Xc \(=\) np.sqrt(\(5\))*np.cos(Theta)
Yc \(=\) np.sqrt(\(5\))*np.sin(Theta)

# malha para o plano \(y+z =3 x_p =\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(20\))
\(y_p =\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(20\))
Xp, Yp \(=\) np.meshgrid(\(x_p\), \(y_p\))
Zp \(=3\) - Yp

# reta tangente
t \(=\) np.linspace(-\(2\), \(2\), \(50\))
Xt \(=1\) - \(2\)*t
Yt \(=2+\) t
Zt \(=1\) - t

fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.\(plot_surface\)(Xc, Yc, Zc, alpha\(=0.3\), color\(=\)'cyan')
ax.\(plot_surface\)(Xp, Yp, Zp, alpha\(=0.3\), color\(=\)'orange')
ax.plot(Xt, Yt, Zt, color\(=\)'red', linewidth\(=2\))
ax.scatter([\(1\)],[\(2\)],[\(1\)], color\(=\)'k', s\(=50\))  # ponto P
ax.\(set_xlabel\)('x'); ax.\(set_ylabel\)('y'); ax.\(set_zlabel\)('z')
plt.show()

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta tangente são
x(t)=1-2t, y(t)=2+t, z(t)=1-t
(b) O código Python acima gera a visualização do cilindro x^2+y^2=5, do plano y+z=3 e da reta tangente em P=(1,2,1).

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