(a) O plano intercepta o cilindro em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto .
(b) Desenhe o cilindro, o plano e a reta tangente na mesma tela.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva que é a interseção da superfície cilíndrica
com o plano
no ponto . O conteúdo usado será: superfícies definidas por nível, gradiente, espaço tangente como interseção de planos tangentes e produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Denotamos
As normais aos dois superfícies em são
Passo 3
A direção da reta tangente é dada pelo vetor que é ortogonal a e a , ou seja o produto vetorial
Calculando componente a componente,
Podemos simplificar dividindo por , obtendo
\text{equivalentes para a mesma reta.
Passo 4
Usando e o vetor direção , as equações paramétricas da reta tangente são
Passo 5
Para desenhar o cilindro, o plano e a reta na mesma tela, podemos usar Python com Matplotlib. Um exemplo de código é:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D
# malha para o cilindro
theta \(=\) np.linspace(\(0\), \(2\)*np.pi, \(50\))
\(z_c =\) np.linspace(-\(1\), \(4\), \(50\))
Theta, Zc \(=\) np.meshgrid(theta, \(z_c\))
Xc \(=\) np.sqrt(\(5\))*np.cos(Theta)
Yc \(=\) np.sqrt(\(5\))*np.sin(Theta)
# malha para o plano \(y+z =3 x_p =\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(20\))
\(y_p =\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(20\))
Xp, Yp \(=\) np.meshgrid(\(x_p\), \(y_p\))
Zp \(=3\) - Yp
# reta tangente
t \(=\) np.linspace(-\(2\), \(2\), \(50\))
Xt \(=1\) - \(2\)*t
Yt \(=2+\) t
Zt \(=1\) - t
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.\(plot_surface\)(Xc, Yc, Zc, alpha\(=0.3\), color\(=\)'cyan')
ax.\(plot_surface\)(Xp, Yp, Zp, alpha\(=0.3\), color\(=\)'orange')
ax.plot(Xt, Yt, Zt, color\(=\)'red', linewidth\(=2\))
ax.scatter([\(1\)],[\(2\)],[\(1\)], color\(=\)'k', s\(=50\)) # ponto P
ax.\(set_xlabel\)('x'); ax.\(set_ylabel\)('y'); ax.\(set_zlabel\)('z')
plt.show()
Resposta
(a) As equações paramétricas da reta tangente são
x(t)=1-2t, y(t)=2+t, z(t)=1-t
(b) O código Python acima gera a visualização do cilindro x^2+y^2=5, do plano y+z=3 e da reta tangente em P=(1,2,1).