Esboce o gráfico e determine a série de Fourier das funções abaixo apresentando a solução de forma ordenada e detalhada:
cc-pi, & -pi <= x<0 x, & 0 <= x<pi : f(x+2 pi)=f(x)

Passo 1

O enunciado define uma função
e pede (1) o esboço do gráfico no intervalo de comprimento . Para isso vamos usar as fórmulas
e depois montar

Passo 2

Esboço do gráfico em um período:
– Em [-π,0), f(x)=-π é reta horizontal.
– Em [0,π), f(x)=x é reta subindo de 0 a π.
Repetimos esse padrão para todo x com período .

Passo 3

Cálculo de a0:
integral-π^πf(x),dx =integral-π^0(-π),dx+integral0^πx,dx =(-π)l[0-(-π)r]+l[tfracx^22r]0^π =-π^2+π^22=-π^22
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a0=1pil(-π^22r)=-π2,
e o termo constante na série é tfraca02=-tfracπ4.

Passo 4

Cálculo de an:
an=1pil[integral-π^0(-π)cos(nx),dx+integral0^πxcos(nx),dxr]
O primeiro integral anula-se porque
integral-π^0cos(nx),dx=l[tfracsin(nx)nr]-π^0=0.
No segundo, por partes ( u=x,,dv=cos(nx)dx) obtemos
integral0^πxcos(nx),dx =l[xsin(nx)nr]0^π-integral0^πsin(nx)n,dx =(-1)^n-1n^2
Portanto
an=(-1)^n-1pi,n^2,
que vale zero para n par e -2/(pi n^2) para n ímpar.

Passo 5

Cálculo de bn:
bn=1pil[integral-π^0(-π)sin(nx),dx+integral0^πxsin(nx),dxr]
O primeiro dá
integral-π^0(-π)sin(nx)dx =-πl[-cos(nx)nr]-π^0 =-π(-1)^n-1n
O segundo, por partes ( u=x,,dv=sin(nx)dx), dá
integral0^πxsin(nx)dx =-π(-1)^nn
Somando e dividindo por pi resulta
bn=1-2(-1)^nn,
que é 3/n para n ímpar e -1/n para n par.

Passo 6

Montagem da série de Fourier:
f(x)sim -π4 +sumn=1^inftyl[ (-1)^n-1pi n^2cos(nx) +1-2(-1)^nnsin(nx) r]

Resposta

boxed f(x) sim -π4 +sumn=1^inftyl[ (-1)^n-1pi,n^2cos(nx) +1-2(-1)^nnsin(nx) r]

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