A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de 2 cm / min enquanto a área do triângulo está diminuindo a uma taxa de 1 cm^2 / min.
Sejam
t : o instante de tempo (em min)
b : a base do triângulo ( em cm ) no instante t
h : a altura do triângulo ( em cm ) no instante t
A : a área do triângulo (em cm^2) no instante t
Encontre uma relação entre as variáveis A, b, h e determine a que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for 10 cm e a área for 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo cuja base é b(t), a altura é h(t) e a área é A(t). Sabemos que
dhdt=2 cm/min (altura aumentando) e
dAdt=-1 cm ^2/min (área diminuindo).
Precisamos:
  1. estabelecer a relação entre A, b e h;
  2. achar dbdt quando h=10 cm e A=100 cm ^2.

Passo 2

A fórmula da área de um triângulo é
A = 12,b,h

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, usando regra do produto, obtemos
dAdt = 12l(b,dhdt + h,dbdtr)

Passo 4

Isolando dbdt:
multiplicamos por 2 em ambos os lados,
2,dAdt = b,dhdt + h,dbdt,
então
h,dbdt = 2,dAdt - b,dhdt,
logo
dbdt = 2,dAdt - b,dhdth

Passo 5

No instante pedido temos h=10 e A=100, logo
b = 2Ah = 2cdot10010 = 20 cm
Substituindo dAdt=-1, dhdt=2, b=20 e h=10 em
dbdt=2(-1)-20cdot210,
temos
dbdt = -2 -4010 = -4210 = -4,2 cm/min

Resposta

A base do triângulo está variando a -4,2 cm/min no instante em que h=10 cm e A=100 cm ^2.

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