Exercício 16 (F.2.2 ex.2)
Mostre que:
sumn=1^infty 14 n^2-1=12 e sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2-1=pi-24. (Use vi do exercício anterior)

Passo 1

O enunciado pede duas séries infinitas. No primeiro caso precisamos mostrar
sumn=1^infty14n^2-1=12,
e no segundo
sumn=1^infty(-1)^n+14n^2-1=pi-24
Para isso vamos usar duas ideias principais:
  1. A identidade de telescópica
14n^2-1 =12l(12n-1-12n+1r)
  1. A série de Gregory–Leibniz para arctan em x=1:
sumn=1^infty(-1)^n-12n-1=pi4

Passo 2

Usando a identidade telescópica em
sumn=1^N14n^2-1 temos
sumn=1^N14n^2-1 =12sumn=1^Nl(12n-1-12n+1r)
Esse somatório telescopa: quando escrevemos os primeiros termos,
12l(underbrace1-13n=1 +underbrace13-15n=2 +underbrace15-17n=3 +cdots +12N-1-12N+1r),
todos os termos intermediários cancelam, sobrando
12l(1-12N+1r)
Fazendo Ntoinfty a fração 12N+1to0, logo
sumn=1^infty14n^2-1 =12cdot1 =12

Passo 3

Agora trate
S=sumn=1^infty(-1)^n+14n^2-1
Usamos de novo
14n^2-1=12l(12n-1-12n+1r), então
S =12sumn=1^infty(-1)^n+1l(12n-1-12n+1r)
Separe em duas somas e reindexe a segunda:
S =12l(sumn=1^infty(-1)^n+12n-1 -sumn=1^infty(-1)^n+12n+1r)
Na segunda, faça k=n+1:
sumn=1^infty(-1)^n+12n+1 =sumk=2^infty(-1)^k2k-1
Portanto
S =12l( underbracesumn=1^infty(-1)^n+12n-1A -underbracesumk=2^infty(-1)^k2k-1B r)
No termo A cada soma é a série de Gregory–Leibniz deslocada:
A=sumn=1^infty(-1)^n+12n-1 =sumn=1^infty(-1)^n-12n-1 =pi4
E
B =sumk=2^infty(-1)^k2k-1 =sumk=1^infty(-1)^k2k-1 ;-;(-1)^11 =-pi4+1
Logo
S =12l(pi4-l(-tfracpi4+1r)r) =12l(pi4+pi4-1r) =12l(pi2-1r) =pi-24

Resposta

sumn=1^infty14n^2-1=12, sumn=1^infty(-1)^n+14n^2-1=pi-24

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