Exercício 16 (F.2.2 ex.2)
Mostre que:
e
. (Use vi do exercício anterior)
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede duas séries infinitas. No primeiro caso precisamos mostrar
e no segundo
Para isso vamos usar duas ideias principais:
- A identidade de telescópica
- A série de Gregory–Leibniz para arctan em
:
Passo 2
Usando a identidade telescópica em
temos
Esse somatório telescopa: quando escrevemos os primeiros termos,
todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Fazendo
Ntoinfty a fração
12N+1to0 , logo
Passo 3
Agora trate
S=sumn=1^infty(-1)^n+14n^2-1
Usamos de novo
14n^2-1=12l(12n-1-12n+1r) , então
Usamos de novo
Separe em duas somas e reindexe a segunda:
Na segunda, faça
k=n+1 :
Portanto
No termo
A cada soma é a série de Gregory–Leibniz deslocada:
E
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