(1,0 ponto) Seja T: C^4 C^4 o operador linear dado por T v=A v^t, onde
v=(z1, z2, z3, z4), A=(cccc 8 & -1 & 0 & 0 4 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 9 & 2 0 & 0 & 2 & 6 ) e v^t=(c z1 z2 z3 z4 )
Calcule a forma canônica de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:C^4toC^4 cuja matriz em base canônica é
A = 8 & -1 & 0 & 0 4 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 9 & 2 0 & 0 & 2 & 6 ,
que é block diagonal com blocos B1 de ordem 2 no canto superior esquerdo e B2 de ordem 2 no canto inferior direito. Para a forma canônica de Jordan, precisamos achar os autovalores de cada bloco, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e determinar o tamanho dos blocos de Jordan.

Passo 2

Analisando o bloco
B1 = 8 & -14 & 12,
o polinômio característico é
det(B1 - lambda I) = (,8-lambda,)(,12-lambda,) - (-1)cdot4 = lambda^2 -20lambda +100,
cuja discriminante é 400-400=0. Logo existe um único autovalor lambda=10 de multiplicidade algébrica 2. Para ver a multiplicidade geométrica, calculamos
B1 - 10I = -2 & -14 & 2,
que tem posto 1, então a nulidade é 1. Assim a dimensão do espaço próprio é 1 e, portanto, B1 gera um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=10.

Passo 3

Agora o bloco
B2 = 9 & 22 & 6
tem polinômio característico
det(B2 - lambda I) = (9-lambda)(6-lambda)-2cdot2 = lambda^2 -15lambda +50,
cuja discriminante é 225-200=25. Os autovalores são
lambda = 15pm52;Rightarrow;lambda1=10,;lambda2=5,
distintos. Blocos com autovalores distintos são diagonalizáveis, ou seja, cada um desses gera um bloco de Jordan de tamanho 1.

Passo 4

Coletando os resultados:
  • Do bloco B1 vem um bloco de Jordan J2(10).
  • Do bloco B2 vem um bloco J1(10) e um bloco J1(5).
Portanto, a forma canônica de Jordan de A (e, logo, de T) é a matriz diagonal em blocos
J = diag!l(J2(10),,J1(10),,J1(5)r)
onde
J2(10) = 10 & 10 & 10, J1(10) = (10), J1(5) = (5)

Resposta

A forma canônica de Jordan de T é
diag!l(10 & 10 & 10,,(10),,(5)r)

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