A altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de 1 cm / min enquanto a área do triângulo está diminuindo a uma taxa de 2 cm^2 / min.
Sejam
t : o instante de tempo (em min)
b : a base do triângulo ( em cm ) no instante t
h : a altura do triângulo ( em cm ) no instante t
A : a área do triângulo (em cm^2) no instante t
Encontre uma relação entre as variáveis A, b, h e determine a que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for 10 cm e a área for 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo cuja altura h varia no tempo com taxa tfracdhdt=1 cm/min e cuja área A varia com taxa tfracdAdt=-2 cm^2/min. Queremos relacionar as variáveis A, b e h (onde b é a base) e, a partir daí, determinar tfracdbdt no instante em que h=10 cm e A=100 cm^2. Esse é um problema de taxas relacionadas, em que usamos a fórmula da área do triângulo e diferenciamos em relação ao tempo.

Passo 2

A área de um triângulo é dada por
A = tfrac12,b,h
Diferenciando ambos os lados em relação a t, usando a regra do produto, obtemos
dAdt = tfrac12l(b,dhdt + h,dbdtr)

Passo 3

No instante pedido temos A=100 cm^2 e h=10 cm. Substituindo em A=tfrac12,b,h,
100 = tfrac12cdot bcdot 10 Longrightarrow 100 = 5b Longrightarrow b = 20 cm

Passo 4

Agora substituímos em dAdt=tfrac12l(b,tfracdhdt+h,tfracdbdtr) os valores b=20, tfracdhdt=1 e tfracdAdt=-2:
-2 = tfrac12l(20cdot 1 + 10cdot dbdtr) Longrightarrow -2 = tfrac12,(20 + 10,tfracdbdt) Longrightarrow -4 = 20 + 10,dbdt
10,dbdt = -24 Longrightarrow dbdt = -2,4 cm/min

Resposta

A relação é A=tfrac12,b,h e, no instante em que h=10 cm e A=100 cm^2, a base varia com taxa
dbdt = -2,4 cm/min

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