Exercício 4. A equação de Tchebyshev é
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+p^2 y=0 , p= const
(a) Encontre a solução geral pelo método de séries de potências.
(b) Se p=n=0,1,2,3, ldots, verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau n e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau n ao polinômio Tn(x) que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja 2^n-1 x^n. Verifique que
lll T0(x)=1 & , T1(x)=x & , T2(x)=2 x^2-1 T3(x)=4 x^3-3 x & , T4(x)=8 x^4-8 x^2+1 & , T5(x)=16 x^5-20 x^3+5 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Tchebyshev
(1 - x^2),y'' - x,y' + p^2,y = 0
pelo método de séries de potências em torno de x=0, e em seguida, quando p=nin0,1,2,dots, mostrar que surge uma solução polinomial de grau n única até constante, definida como o polinômio de Tchebyshev de primeira ordem Tn(x) com coeficiente dominante 2^n-1.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k
Então
y'(x)=sumk=1^inftyk,ak,x^k-1, y''(x)=sumk=2^inftyk(k-1),ak,x^k-2
Substituindo em
(1 - x^2)y'' - x,y' + p^2 y=0
e reindexando, obtemos a condição de anulação de cada coeficiente de x^n:
an+2(n+2)(n+1);-;anl[n(n-1)+n -p^2r]=0 ;Longrightarrow; an+2=n^2 - p^2(n+2)(n+1),an

Passo 3

Como a recorrência liga an+2 a an, há duas séries independentes: uma série par, partida de a0, e uma série ímpar, partida de a1. Logo a solução geral é
y(x)=C1,yrm par(x)+C2,yrm impar(x)
com
yrm par(x)=sumk=0^inftya2k,x^2k, yrm impar(x)=sumk=0^inftya2k+1,x^2k+1,
e a recorrência acima para todos os coeficientes.

Passo 4

Se p=n é inteiro não–negativo, note que ao colocar n^2-p^2=0 na fórmula de an+2 temos an+2=0. Daí, a série que começa em a0 (caso n par) ou em a1 (caso n ímpar) termina exatamente no termo de grau n, produzindo um polinômio de grau n único até constante. Esse é o polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau n.

Passo 5

Impondo que o coeficiente do termo de maior grau x^n seja 2^n-1, define-se
Tn(x)=polinômio de grau (n) acima normalizado ô
É sabido que esses polinômios satisfazem a recorrência de três termos
Tn+1(x)=2x,Tn(x)-Tn-1(x),
com T0(x)=1 e T1(x)=x. Aplicando essa recorrência até n=5 obtemos:

Resposta

(a) A solução geral é
y(x)=C1sumk=0^inftya2kx^2k ;+; C2sumk=0^inftya2k+1x^2k+1,
com
an+2=n^2-p^2(n+2)(n+1),an
(b) Para p=nin0,1,2,dots surge o polinômio único (a menos de escala) de grau n:
T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x^2-1, T3(x)=4x^3-3x,
T4(x)=8x^4-8x^2+1, T5(x)=16x^5-20x^3+5x

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