Exercício 4. A equação de Tchebyshev é
(a) Encontre a solução geral pelo método de séries de potências.
(b) Se
, verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau
e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau
ao polinômio
que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja
. Verifique que
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Tchebyshev
pelo método de séries de potências em torno de
, e em seguida, quando
, mostrar que surge uma solução polinomial de grau
única até constante, definida como o polinômio de Tchebyshev de primeira ordem
com coeficiente dominante
.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências
Então
Substituindo em
e reindexando, obtemos a condição de anulação de cada coeficiente de :
e reindexando, obtemos a condição de anulação de cada coeficiente de
Passo 3
Como a recorrência liga
a
, há duas séries independentes: uma série par, partida de
, e uma série ímpar, partida de
. Logo a solução geral é
com
e a recorrência acima para todos os coeficientes.
Passo 4
Se
é inteiro não–negativo, note que ao colocar
na fórmula de
temos
. Daí, a série que começa em
(caso
par) ou em
(caso
ímpar) termina exatamente no termo de grau
, produzindo um polinômio de grau
único até constante. Esse é o polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau
.
Passo 5
Impondo que o coeficiente do termo de maior grau
seja
, define-se
É sabido que esses polinômios satisfazem a recorrência de três termos
com
e
. Aplicando essa recorrência até
obtemos:
Resposta
(a) A solução geral é
com
(b) Para
surge o polinômio único (a menos de escala) de grau
: