( 1,0 ponto) Considere o espaço vetorial real P^2(R) dos polinônios de grau menor ou igual a dois com produto interno
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x, forall p, q in P^2(R)
Determine a melhor aproximação do polinômio q(x)=1-x^2 no subespaço P^1(R), dos polinônios de grau menor ou igual a um.

Passo 1

Estamos em P^2(R) com produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1p(x),q(x),dx
e queremos a melhor aproximação de q(x)=1-x^2 no subespaço P^1(R).
Isso equivale a projetar q ortogonalmente em P^1.

Passo 2

Como qualquer polinômio em P^1 é da forma
p(x)=a + b,x,
impondo que o erro q-p seja ortogonal a toda base de P^1, escolhemos as condições
lang<= q-p,,1rang<= = 0 e lang<= q-p,,xrang<= = 0

Passo 3

Calculando lang<= q-p,1rang<==0:
integral0^1l(1 - x^2 - a - b,xr),dx = 0
Como
integral0^11,dx=1, integral0^1x^2,dx=tfrac13, integral0^1a,dx=a, integral0^1b,x,dx=tfracb2,
vem
1 - tfrac13 - a - tfracb2 = 0 Longrightarrow a + tfracb2 = tfrac23

Passo 4

Calculando lang<= q-p,xrang<==0:
integral0^1l(1 - x^2 - a - b,xr),x,dx = 0
Como
integral0^1x,dx=tfrac12, integral0^1x^3,dx=tfrac14, integral0^1a,x,dx=tfraca2, integral0^1b,x^2,dx=tfracb3,
vem
tfrac12 - tfrac14 - tfraca2 - tfracb3 = 0 Longrightarrow tfraca2 + tfracb3 = tfrac14

Passo 5

Resolvendo o sistema
a + tfracb2 = tfrac23,[6pt] tfraca2 + tfracb3 = tfrac14,
multiplicando a segunda equação por 2
,a + tfrac2b3 = tfrac12
Subtraindo desta a primeira:
l(a + tfracb2r) - l(a + tfrac2b3r) = tfrac23 - tfrac12 ;Longrightarrow; -tfracb6 = tfrac16 ;Longrightarrow; b = -1
Então
a + tfrac(-1)2 = tfrac23 ;Longrightarrow; a = tfrac23 + tfrac12 = tfrac76
]

Resposta

A melhor aproximação de 1 - x^2 em P^1(R) é
p^*(x) = tfrac76 - x

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