( 1,0 ponto) Considere o espaço vetorial real
dos polinônios de grau menor ou igual a dois com produto interno
Determine a melhor aproximação do polinômio
no subespaço
, dos polinônios de grau menor ou igual a um.
Passo 1
Estamos em
com produto interno
e queremos a melhor aproximação de
no subespaço
.
Isso equivale a projetar ortogonalmente em
.
Isso equivale a projetar
Passo 2
Como qualquer polinômio em
é da forma
impondo que o erro
seja ortogonal a toda base de
, escolhemos as condições
Passo 3
Calculando
:
Como
vem
vem
Passo 4
Calculando
:
Como
vem
vem
Passo 5
Resolvendo o sistema
multiplicando a segunda equação por
dá
Subtraindo desta a primeira:
Subtraindo desta a primeira:
Então
]
Resposta
A melhor aproximação de
em
é