A altura de um triângulo cresce a uma taxa de
, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de
. A que taxa varia a base do triangulo quando a altura é de
e a área de
?
Passo 1
O problema fala de um triângulo cuja altura varia a
5 cm/min e cuja área varia a 2 cm²/min. Queremos saber a taxa de variação da base quando h=20 cm e A=800 cm². É um caso clássico de taxas relacionadas em geometria.
5 cm/min e cuja área varia a 2 cm²/min. Queremos saber a taxa de variação da base quando h=20 cm e A=800 cm². É um caso clássico de taxas relacionadas em geometria.
Passo 2
Para resolver, usamos a fórmula da área de um triângulo:
Aqui A é a área, b é a base e h é a altura.
Passo 3
Agora vamos diferenciar implicitamente em relação ao tempo t. Aplicando a derivada em ambos os lados:
Passo 4
Reorganizando para isolar
:
Passo 5
Precisamos de b no instante em que h=20 cm e A=800 cm². Da relação da área:
Agora substituímos todos os valores (
,
, b=80, h=20):
Passo 6
A base do triângulo varia a -19,8 cm/min no instante pedido.
Resposta
-19{,}8 cm/min