A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 5 cm / min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm^2 / min. A que taxa varia a base do triangulo quando a altura é de 20 cm e a área de 800 cm^2?

Passo 1

O problema fala de um triângulo cuja altura varia a
5 cm/min e cuja área varia a 2 cm²/min. Queremos saber a taxa de variação da base quando h=20 cm e A=800 cm². É um caso clássico de taxas relacionadas em geometria.

Passo 2

Para resolver, usamos a fórmula da área de um triângulo:
A = tfrac12,b,h
Aqui A é a área, b é a base e h é a altura.

Passo 3

Agora vamos diferenciar implicitamente em relação ao tempo t. Aplicando a derivada em ambos os lados:
dAdt = 12l(bdhdt + hdbdtr)

Passo 4

Reorganizando para isolar dbdt:
2dAdt = bdhdt + hdbdt
hdbdt = 2dAdt - bdhdt
dbdt = 2dAdt - bdhdth

Passo 5

Precisamos de b no instante em que h=20 cm e A=800 cm². Da relação da área:
800 = tfrac12,b,(20) implies 800 = 10b implies b = 80 cm
Agora substituímos todos os valores ( dAdt=2, dhdt=5, b=80, h=20):
dbdt = 2cdot2 - 80cdot520 = 4 - 40020 = -39620 = -19,8\nIsso mostra que a base está diminuindo.

Passo 6

A base do triângulo varia a -19,8 cm/min no instante pedido.

Resposta

-19{,}8 cm/min

Exercícios relacionados