Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(t)=((t^wed>= 2-1) /(t^wed>= 2+1))^wed>=(3 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(t) = \left(\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}\right)^{\frac{3}{2}} $. Nessa questão, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e frações de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos uma função composta onde:
  • A parte interna é $ \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} $.
  • Essa parte interna está elevada à potência $ \frac{3}{2} $.
Para aplicar a Regra da Cadeia, vamos considerar a função externa e a função interna separadamente.

Passo 3

Vamos chamar a função interna de $ u(t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} $. Assim, nossa função fica $ f(t) = [u(t)]^{\frac{3}{2}} $.
A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de $ f(t) $ em relação a $ t $ é:
u(t) = t^2 - 1t^2 + 1
Então, precisamos encontrar $ u’(t) $.

Passo 4

Para encontrar $ u’(t) $, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se $ u(t) = \frac{A(t)}{B(t)} $, então:
u'(t)
Aqui, $ A(t) = t^{2} - 1 $ e $ B(t) = t^{2} + 1 $.

Passo 5

Vamos calcular $ A’(t) $ e $ B’(t) $:
  • $ A(t) = t^{2} - 1 $ então $ A’(t) = 2t $.
  • $ B(t) = t^{2} + 1 $ então $ B’(t) = 2t $.

Passo 6

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
u'(t) = 2t(t^2 + 1) - (t^2 - 1)(2t)(t^2 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador.

Passo 7

Expandindo o numerador:
2t(t^2 + 1) = 2t^3 + 2t
(t^2 - 1)(2t) = 2t^3 - 2t
Subtraindo:
2t^3 + 2t - (2t^3 - 2t) = 2t^3 + 2t - 2t^3 + 2t = 4t
Então, $ u’(t) = \frac{4t}{(t^{2} + 1)^{2}} $.

Passo 8

Voltando à derivada original usando a Regra da Cadeia:
f'(t) = 32 [u(t)]^12 cdot u'(t)
Substituindo $ u(t) $ e $ u’(t) $:
u(t)

Passo 9

Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes e combinando as frações:
f'(t) = 32 cdot 4t cdot (t^2 - 1t^2 + 1)^12 cdot 1(t^2 + 1)^2
f'(t) = 6t cdot (t^2 - 1t^2 + 1)^12 cdot 1(t^2 + 1)^2

Passo 10

Finalmente, podemos combinar as potências de $ t^{2} + 1 $:
t^2 + 1
Então, a derivada fica:
(t^2 - 1t^2 + 1)^12 = raizt^2 - 1raizt^2 + 1
f'(t) = 6t cdot raizt^2 - 1raizt^2 + 1 cdot 1(t^2 + 1)^2

Resposta

A derivada da função é $ f’(t) = \frac{6t \sqrt{t^{2} - 1}}{(t^{2} + 1)^{\frac{5}{2}}} $.

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