Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(t) = \left(\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}\right)^{\frac{3}{2}} $. Nessa questão, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e frações de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos uma função composta onde:
- A parte interna é $ \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} $.
- Essa parte interna está elevada à potência $ \frac{3}{2} $.
Para aplicar a Regra da Cadeia, vamos considerar a função externa e a função interna separadamente.
Passo 3
Vamos chamar a função interna de $ u(t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} $. Assim, nossa função fica $ f(t) = [u(t)]^{\frac{3}{2}} $.
A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de $ f(t) $ em relação a $ t $ é:
Então, precisamos encontrar $ u’(t) $.
Passo 4
Para encontrar $ u’(t) $, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se $ u(t) = \frac{A(t)}{B(t)} $, então:
Aqui, $ A(t) = t^{2} - 1 $ e $ B(t) = t^{2} + 1 $.
Passo 5
Vamos calcular $ A’(t) $ e $ B’(t) $:
- $ A(t) = t^{2} - 1 $ então $ A’(t) = 2t $.
- $ B(t) = t^{2} + 1 $ então $ B’(t) = 2t $.
Passo 6
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador.
Passo 7
Expandindo o numerador:
Subtraindo:
Então, $ u’(t) = \frac{4t}{(t^{2} + 1)^{2}} $.
Passo 8
Voltando à derivada original usando a Regra da Cadeia:
Substituindo $ u(t) $ e $ u’(t) $:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes e combinando as frações:
Passo 10
Finalmente, podemos combinar as potências de $ t^{2} + 1 $:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é $ f’(t) = \frac{6t \sqrt{t^{2} - 1}}{(t^{2} + 1)^{\frac{5}{2}}} $.