Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(t)=1 /(1-t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as regras de derivação em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como $ f(t) $ muda conforme $ t $ muda.

Passo 3

Agora, observamos que $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $ pode ser reescrita como $ f(t) = (1 - t)^{-1} $. Essa reescrita facilita o uso das regras de derivação, especialmente a regra do poder.

Passo 4

Vamos utilizar a regra do poder para derivar $ f(t) = (1 - t)^{-1} $. A regra do poder diz que se $ f(t) = x^n $, então $ f’(t) = n \cdot x^{n-1} \cdot x’ $, onde $ x’ $ é a derivada de $ x $ em relação a $ t $.

Passo 5

Aplicando a regra do poder à nossa função:
  • $ n = -1 $
  • $ x = 1 - t $
  • A derivada de $ x $ em relação a $ t $ é $ x’ = -1 $
Então,
n = -1

Passo 6

Simplificando a expressão:
f'(t) = -1 cdot (-1) cdot (1 - t)^-2 = (1 - t)^-2

Resposta

A derivada da função $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $ é:
f(t) = 11 - t

Exercícios relacionados