Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as regras de derivação em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como $ f(t) $ muda conforme $ t $ muda.
Passo 3
Agora, observamos que $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $ pode ser reescrita como $ f(t) = (1 - t)^{-1} $. Essa reescrita facilita o uso das regras de derivação, especialmente a regra do poder.
Passo 4
Vamos utilizar a regra do poder para derivar $ f(t) = (1 - t)^{-1} $. A regra do poder diz que se $ f(t) = x^n $, então $ f’(t) = n \cdot x^{n-1} \cdot x’ $, onde $ x’ $ é a derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Passo 5
Aplicando a regra do poder à nossa função:
- $ n = -1 $
- $ x = 1 - t $
- A derivada de $ x $ em relação a $ t $ é $ x’ = -1 $
Então,
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função $ f(t) = \frac{1}{1 - t} $ é: