A altura de um triângulo está diminuindo a uma taxa de 1 cm / min enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 2 cm^2 / min.
Sejam
t : o instante de tempo (em min)
b : a base do triângulo ( em cm ) no instante t
h : a altura do triângulo ( em cm ) no instante t
A : a área do triângulo ( em cm^2 ) no instante t
Encontre uma relação entre as variáveis A, b, h e determine a que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for 10 cm e a área for 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado diz que a altura h do triângulo está diminuindo a ,1 cm/min enquanto a área A está aumentando a ,2 cm^2/min. As variáveis são b (base), h (altura) e A (área), todas funções do tempo t. O conteúdo usado aqui é taxa de variação relacionada: como A, b e h se ligam pela fórmula da área de um triângulo para, em seguida, diferenciarmos em relação a t.

Passo 2

A relação entre as variáveis é
A = 12,b,h
Derivando ambos os lados em relação a t, usando regra do produto:
dAdt = 12l(b,dhdt + h,dbdtr)

Passo 3

Isolando dbdt:
2,dAdt = b,dhdt + h,dbdt Longrightarrow h,dbdt = 2,dAdt - b,dhdt
dbdt = 2,dAdt - b,dhdth

Passo 4

No instante em que h=10 cm e A=100 cm^2, primeiro encontramos b:
b = 2Ah = 2cdot10010 = 20 cm
Então, com dhdt=-1 cm/min e dAdt=2 cm^2/min,
dbdt = 2cdot2 - 20cdot(-1)10 = 4 + 2010 = 2410 = 2,4 cm/min

Resposta

dbdt=2,4 cm/min

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