Para cada uma das funções f abaixo, calcule integral f(x) d x.
h) f(x)=tg^2 x-x raiz1+x^2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral f(x),dx em que f(x)=tan^2 x - xraiz1+x^2
O conteúdo aqui envolve duas técnicas: usar identidade trigonométrica para tan^2 x e método de substituição para integrar xraiz1+x^2.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integral f(x),dx =integral tan^2 x,dx ;-;integral xraiz1+x^2,dx

Passo 3

Para integral tan^2 x,dx usamos a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1
Logo,
integral tan^2 x,dx =integral(sec^2 x - 1),dx =integral sec^2 x,dx ;-;integral 1,dx =tan x - x

Passo 4

Para integral xraiz1+x^2,dx fazemos a substituição
u = 1+x^2, du = 2x,dxLongrightarrow x,dx = du2
Então
integral xraiz1+x^2,dx =integral raizu,du2 =12integral u^1/2,du =12cdot 23u^3/2 =13(1+x^2)^3/2

Passo 5

Voltando à integral original, temos
integral f(x),dx =l(tan x - xr) ;-;13(1+x^2)^3/2 + C

Resposta

integrall(tan^2 x - xraiz1+x^2r),dx =tan x ;-; x ;-;(1+x^2)^3/23 + C

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