As alturas dos alunos de uma escola possuem média de 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a medida mínima para escolher 10 % dos mais altos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado. A altura dos alunos segue uma distribuição normal com média
mu = 1,60 m
e desvio padrão
sigma = 0,30 m
A pergunta é: qual é a altura mínima que separa os 10% mais altos da galera? Ou seja, queremos o percentil de 90% (porque quem está acima do percentil 90 é o top 10%). Para resolver isso, vamos usar a inversa da distribuição normal padrão (o famoso z-score) e depois “despadronizar” para a nossa média e desvio padrão.

Passo 2

Entendendo a teoria:
  1. Uma variável aleatória Z = X - musigma que é normal com média P(X <= x0,90) = 0,90 e desvio P!l(Z <= z0,90r) = 0,90, pode ser escrita em termos da normal padrão (média 0, desvio 1) assim:
  2. O percentil 90% de significa achar tal que
  3. Em , isso vira onde é o valor da tabela z correspondente a 0,90 (aprox. ).

Passo 3

Agora aplicamos a “despadronização” para voltar a z0,90 approx 1,2816, . Se
x0,90 = mu + z0,90,sigma
então

Passo 4

Substituindo os valores:
x0,90 = 1,60 + 1,2816 times 0,30
Calculemos:
1,2816 times 0,30 = 0,38448
x0,90 = 1,60 + 0,38448 = 1,98448 m

Resposta

A altura mínima para escolher os 10% mais altos é, aproximadamente, metros.

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