O custo de um produto A é determinado por custos fixos, mão de obra, e matéria prima. Os custos fixos são de R e o desvio padrão de e o desvio padrão de , com distribuição normal. O custo de mão de obra possui média de R$ 5.000,00 e desvio padrão de R 80,00. O custo da matéria prima é o dobro do custo da mão de obra e também segue distribuição normal. Determine: qual a probabilidade de que o custo de A esteja entre 5.000,00 e desvio padrão de R e 100,00 16.900,00.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: o custo total Z = X - muXsigmaX de um produto é dado pela soma de três partes:
  1. Custos fixos , que seguem .
  2. Mão de obra , com .
  3. Matéria-prima , que é o dobro da mão de obra e também normal.
Conteúdo: combinação linear de variáveis aleatórias normais e cálculo de probabilidade via padronização (transformação para padrão).
O que vamos precisar:
  • Saber que soma de normais independentes é normal.
  • Saber que, se , então .
  • Fórmula da padronização:

Passo 2

Primeiro, vamos achar a distribuição de cada componente:
  • Msim Nl(2cdot5000,;(2cdot100)^2r) = N(10000,;200^2) .
  • .
  • Como , aplicamos a regra do “escala”:

Passo 3

Agora, como C = F + L + M , muC = muF + muL + muM = 1000 + 5000 + 10000 = 16000, e sigmaC^2 = sigmaF^2 + sigmaL^2 + sigmaM^2 = 80^2 + 100^2 + 200^2 = 6400 + 10000 + 40000 = 56400, são independentes, a soma
é normal com:
logo .

Passo 4

Queremos
Pl(15800 <= C <= 16900r)
Padronizando cada limite:
Z1 = 15800 - 16000237,62 approx -200237,62 approx -0,842,
Z2 = 16900 - 16000237,62 approx 900237,62 approx 3,789
Então
P(15800 <= C <= 16900) = P(-0,842 <= Z <= 3,789)

Passo 5

Da tabela da Normal padrão ( P(-0,842 <= Z <= 3,789) = Phi(3,789) - Phi(-0,842) approx 0,9999 - 0,2005 = 0,7994 ):
e .
Logo

Resposta

A probabilidade de o custo total 15 800 e R ficar entre R$ 15 800 e R$ 16 900 é aproximadamente
boxed0,7994, ou 79,94%

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