As alturas dos alunos de uma escola possuem média de 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: (a) entre 1,50 e 1,80m, (b) mais de 1,75 m, © menos de 1,48 m, (d) qual a medida mínima para escolher 10 % dos mais altos. (Repostas: (a) 0,3779, (b) 0,3085, © 0,3446, (d) 1,98m).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que as alturas dos alunos seguem uma distribuição Normal com média μ=1,60 m e desvio-padrão σ=0,30 m. Vamos precisar:
  1. Converter cada valor de altura X num valor Z da normal padrão usando Z=X-musigma
  2. Usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, Phi(z)=P(Z<= z), ou sua tabela.
    Pronto, agora é só calcular passo a passo cada probabilidade e a cota para os 10% mais altos.

Passo 2

(a) P(1,50 m ≤ X ≤ 1,80 m)
  1. Calcular os Z correspondentes: z1=1,50-1,600,30=-0,3333, z2=1,80-1,600,30=0,6667
    2. Ler na tabela ou função:
    Phi(z2)=Phi(0,6667)approx0,7475, Phi(z1)=Phi(-0,3333)approx0,3696
  2. Então P(1,50<= X<=1,80)=Phi(z2)-Phi(z1)approx0,7475-0,3696=0,3779

Passo 3

(b) P(X > 1,75 m)
  1. Z para 1,75 m: z=1,75-1,600,30=0,5
    2. P(X>1,75)=1–P(X≤1,75)=1–Φ(0,5).
    3. Da tabela, Φ(0,5)≈0,6915, logo
    P(X>1,75)=1-0,6915=0,3085

Passo 4

© P(X < 1,48 m)
  1. Z para 1,48 m: z=1,48-1,600,30=-0,4
    2. P(X<1,48)=Φ(–0,4). Da tabela, Φ(–0,4)≈0,3446.

Passo 5

(d) Altura mínima para ficar nos 10% mais altos
  1. Queremos P(X > x₀)=0,10 ⇒ P(X ≤ x₀)=0,90 ⇒ z₀=Φ⁻¹(0,90).
  2. Da tabela inversa, z₀≈1,2816.
  3. Voltar a X: x₀=mu+sigma,z₀=1,60+0,30cdot1,2816approx1,9845 mapprox1,98 m

Resposta

(a) 0,3779
(b) 0,3085
© 0,3446
(d) 1,98 m

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