O custo de um produto A é determinado por custos fixos, mão de obra, e matéria prima. Os custos fixos são de R e o desvio padrão de e o desvio padrão de , com distribuição normal. O custo de mão de obra possui média de R$ 5.000,00 e desvio padrão de R 80,00. O custo da matéria prima é o dobro do custo da mão de obra e também segue distribuição normal. Determine: (a) qual a média e o desvio do custo de 5.000,00 e desvio padrão de R , (b) qual a probabilidade de A custar mais de 100,00, © qual a probabilidade de que o custo de A esteja entre A e R 16.900,00. (Repostas: (a) , (c) qual a probabilidade de que o custo de A esteja entre , (b) 0,017429 , © 0,799471).

Passo 1

O exercício fala que o custo total de um produto é a soma de três componentes aleatórios que têm distribuição normal:
  1. Custos fixos .
  2. Mão de obra .
  3. Matéria-prima , que é o dobro de , logo é normal também.
Conteúdo envolvido:
  • Propriedade de transformações lineares de variáveis normais.
  • Soma de variáveis independentes normais.
  • Cálculo de probabilidade usando a padronização (variável padrão).
O que vamos precisar:
  • Saber que, se , então .
  • Saber que a soma de normais independentes é normal, com média igual à soma das médias e variância igual à soma das variâncias.
  • Tabelas (ou calculadora) da função de distribuição acumulada da normal padrão .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformação em Z = 2,Y sim Nl(2cdot5000,,(2)^2cdot100^2r) = N(10000,40000) para obter :
Se , então
Ou seja, e .

Passo 3

Agora somamos A = X + Y + Z sim N!l(muX+muY+muZ,;sigmaX^2+sigmaY^2+sigmaZ^2r) , muA = 1000 + 5000 + 10000 = 16000, e sigmaA^2 = 80^2 + 100^2 + (2cdot100)^2 = 6400 + 10000 + 40000 = 56400, . Como são independentes e normais:
sigmaA = raiz56400approx 237,49
Calculando:

Passo 4

(b) Queremos Z = A - 16000237,49sim N(0,1), . Padronizando:
P(A>16500) = Pl(Z > tfrac16500-16000237,49r) = Pl(Z > 2,106r)
então
P(Z>2,106) = 1 - Phi(2,106) approx 0,017429
Usando tabela ou calculadora:

Passo 5

© Queremos z1 = 15800-16000237,49approx -0,842, z2 = 16900-16000237,49approx 3,789 . Padronizando os dois limites:
P(15800
Então

Resposta

(a)
(b)
©

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