A Alumco fabrica chapas e barras de alumínio. A capacidade máxima de produção estimada são 800 chapas e 600 barras por dia. A demanda máxima diária são 550 chapas e 580 barras. O lucro é de R por chapa e por chapa e por barra. Determine o mix ótimo de produção diária.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá dizendo: a Alumco fabrica dois produtos – chapas e barras de alumínio. Num dia eles não conseguem fazer mais que 800 chapas e 600 barras (capacidade máxima), e também não vão vender mais que 550 chapas e 580 barras (demanda). Cada chapa dá R$ 40 de lucro e cada barra dá R$ 35. O que a gente quer é descobrir quantas chapas (x) e quantas barras (y) produzir por dia pra maximizar o lucro.
Conteúdo: Programação Linear, mais especificamente otimização (maximização) de função linear sujeita a restrições lineares. Vamos precisar definir variáveis de decisão, a função objetivo (lucro) e listar as restrições de capacidade e demanda.

Passo 2

Definindo as variáveis e a função objetivo:
x = número de chapas produzidas por dia
y = número de barras produzidas por dia
O lucro total Z, em função de x e y, é dado por:
Z(x,y) ;=; 40,x ;+; 35,y
A gente quer maximizar essa função Z.

Passo 3

Agora as restrições. O enunciado dá quatro limites:
  1. Capacidade de chapas: x >= 0, y >= 0
  2. Demanda de chapas:
  3. Capacidade de barras:
  4. Demanda de barras:
    Além disso, não faz sentido produzir quantidade negativa, então:

Passo 4

Repare que, entre as duas restrições de chapas, a mais “apertada” é 0 <= x <= 550, 0 <= y <= 580 , porque 550 < 800. E para barras, a mais restritiva é , pois 580 < 600. Então a região viável fica simplesmente:

Passo 5

Em problemas lineares de duas variáveis, o máximo sempre ocorre num dos vértices (cantos) do retângulo definido pelas restrições. Aqui os cantos são:

Passo 6

Vamos calcular o lucro Z = 40cdot0 + 35cdot0 = 0 em cada canto:
  1. Em Z = 40cdot550 + 35cdot0 = 22,000 : Z = 40cdot0 + 35cdot580 = 20,300
  2. Em Z = 40cdot550 + 35cdot580 = 22,000 + 20,300 = 42,300 :
  3. Em :
  4. Em :

Resposta

O lucro máximo é R$ 42 300 por dia, obtido quando você produz 550 chapas e 580 barras.

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