A Alumco fabrica chapas e barras de alumínio. A capacidade máxima de produção estimada são 800 chapas e 600 barras por dia. A demanda máxima diária são 550 chapas e 580 barras. O lucro é de
por chapa e
por barra. Determine o mix ótimo de produção diária.
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado tá dizendo: a Alumco fabrica dois produtos – chapas e barras de alumínio. Num dia eles não conseguem fazer mais que 800 chapas e 600 barras (capacidade máxima), e também não vão vender mais que 550 chapas e 580 barras (demanda). Cada chapa dá R$ 40 de lucro e cada barra dá R$ 35. O que a gente quer é descobrir quantas chapas (x) e quantas barras (y) produzir por dia pra maximizar o lucro.
Conteúdo: Programação Linear, mais especificamente otimização (maximização) de função linear sujeita a restrições lineares. Vamos precisar definir variáveis de decisão, a função objetivo (lucro) e listar as restrições de capacidade e demanda.
Conteúdo: Programação Linear, mais especificamente otimização (maximização) de função linear sujeita a restrições lineares. Vamos precisar definir variáveis de decisão, a função objetivo (lucro) e listar as restrições de capacidade e demanda.
Passo 2
Definindo as variáveis e a função objetivo:
x = número de chapas produzidas por dia
y = número de barras produzidas por dia
O lucro total Z, em função de x e y, é dado por:
x = número de chapas produzidas por dia
y = número de barras produzidas por dia
O lucro total Z, em função de x e y, é dado por:
A gente quer maximizar essa função Z.
Passo 3
Agora as restrições. O enunciado dá quatro limites:
- Capacidade de chapas:
- Demanda de chapas:
- Capacidade de barras:
- Demanda de barras:
Além disso, não faz sentido produzir quantidade negativa, então:
Passo 4
Repare que, entre as duas restrições de chapas, a mais “apertada” é
, porque 550 < 800. E para barras, a mais restritiva é
, pois 580 < 600. Então a região viável fica simplesmente:
Passo 5
Em problemas lineares de duas variáveis, o máximo sempre ocorre num dos vértices (cantos) do retângulo definido pelas restrições. Aqui os cantos são:
Passo 6
Vamos calcular o lucro
em cada canto:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
O lucro máximo é R$ 42 300 por dia, obtido quando você produz 550 chapas e 580 barras.