Uma aluna de 60 kg está em pé sobre uma canoa de 80 kg e comprimento de 5 m . Ela caminha a 1 m de uma extremidade até a 1 m da outra. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Massa da aluna: m = 60\\ \text{kg}.
  • Massa da canoa: M = 80\\ \text{kg}.
  • Comprimento da canoa: L = 5\\ \text{m}.
  • A aluna caminha desde 1\\ \text{m} de uma extremidade até 1\\ \text{m} da outra extremidade. Isso significa que, em relação à canoa, ela percorre uma distância de L - 1 - 1 = 3\\ \text{m}.
  • Desprezamos a resistência da água (ou seja, não há força externa horizontal).
O que é pedido:
  • A distância que a canoa se move no processo (ou seja, o deslocamento da canoa em relação à água).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): quando não atuam forças externas horizontais no sistema “aluna + canoa” (a água não exerce força horizontal porque a resistência é desprezada), a posição do centro de massa do sistema ao longo da direção horizontal permanece constante durante o movimento. Isso significa que o centro de massa inicial do conjunto tem o mesmo valor numérico que o centro de massa final. Vamos usar essa conservação para relacionar os deslocamentos da aluna e da canoa.
A fórmula do centro de massa unidimensional para dois corpos é
X_{\text{COM}}=\frac{M X_{c} + m X_{s}}{M + m},
onde X_{c} é a posição do centro da canoa e X_{s} é a posição da aluna (ambas medidas em relação ao mesmo referencial horizontal). Vou aplicar essa fórmula antes e depois do movimento e igualar as duas expressões.

Passo 3

Escolha do referencial e definição de variáveis (importante para montar as contas):
  • Escolho o referencial horizontal de modo que o centro da canoa, antes da aluna caminhar, esteja em X_{c}^{i}=0. Isso simplifica as contas.
  • A extremidade esquerda da canoa está então em X=-\dfrac{L}{2}=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5\\ \text{m} e a extremidade direita em X=+\dfrac{L}{2}=+2{,}5\\ \text{m}.
  • Inicialmente a aluna está 1\\ \text{m} da extremidade esquerda, então a posição inicial da aluna relativa ao centro da canoa é
x_{s/c}^{i} = -2{,}5 + 1 = -1{,}5\\ \text{m}.
Como X_{c}^{i}=0, a posição inicial da aluna no referencial fixo é
X_{s}^{i} = -1{,}5\\ \text{m}.
  • Ao final, a aluna está 1\\ \text{m} da extremidade direita, o que é, relativo ao centro da canoa, x_{s/c}^{f}=+1{,}5\\ \text{m}.
  • Suponho que a canoa deslocou-se horizontalmente para algum valor X_{c}^{f} (desconhecido). Então a posição final da aluna no referencial fixo é
X_{s}^{f} = X_{c}^{f} + 1{,}5.

Passo 4

Calcular o centro de massa inicial usando a fórmula:
X_{\text{COM}}^{i}=\frac{M X_{c}^{i} + m X_{s}^{i}}{M + m} =\frac{80\cdot 0 + 60\cdot(-1{,}5)}{80 + 60}.
Faço as multiplicações e a soma:
80\cdot 0 = 0,\qquad 60\cdot(-1{,}5) = -90.
Logo
X_{\text{COM}}^{i}=\frac{-90}{140}=-\frac{9}{14}\\ \text{m}\approx -0{,}642857\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular o centro de massa final em função de X_{c}^{f}:
X_{\text{COM}}^{f}=\frac{M X_{c}^{f} + m X_{s}^{f}}{M + m} =\frac{80 X_{c}^{f} + 60 (X_{c}^{f} + 1{,}5)}{140}.
Distribuo o 60:
80 X_{c}^{f} + 60 X_{c}^{f} + 60\cdot 1{,}5 = 140 X_{c}^{f} + 90.
Portanto
X_{\text{COM}}^{f}=\frac{140 X_{c}^{f} + 90}{140}=X_{c}^{f} + \frac{90}{140}=X_{c}^{f} + \frac{9}{14}.

Passo 6

Conservar o centro de massa: X_{\text{COM}}^{i}=X_{\text{COM}}^{f}. Substituo as expressões obtidas:
-\frac{9}{14} = X_{c}^{f} + \frac{9}{14}.
Agora isolo X_{c}^{f}:
X_{c}^{f} = -\frac{9}{14} - \frac{9}{14} = -\frac{18}{14} = -\frac{9}{7}.
Em valor decimal,
X_{c}^{f} = -\frac{9}{7}\\ \text{m}\approx -1{,}285714\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação: X_{c}^{f} é a posição final do centro da canoa no referencial em que X_{c}^{i}=0. Portanto a canoa sofreu um deslocamento igual a
\Delta X_{c} = X_{c}^{f} - X_{c}^{i} = -\frac{9}{7} - 0 = -\frac{9}{7}\\ \text{m}.
O sinal negativo indica que a canoa se moveu no sentido oposto ao da caminhada da aluna. A distância (valor absoluto) que a canoa se moveu é \dfrac{9}{7}\\ \text{m}, isto é cerca de 1{,}2857\\ \text{m}.
Você mandou bem trazendo essa questão — a ideia-chave é sempre pensar no centro de massa quando não há forças externas horizontais. Se quiser, praticamos outro exemplo parecido pra fixar.

Resposta

\dfrac{9}{7}\\ \text{m}

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