Calcular a variação de entropia de um corpo de calor específico c que se aquece de T_{1} para T_{2}.

Passo 1

O enunciado nos diz que há um corpo com calor específico c que é aquecido de uma temperatura inicial \;T_1\; para uma temperatura final \;T_2\;.
Pergunta que precisamos responder: qual é a variação de entropia do corpo ao ir de \;T_1\; para \;T_2\;?
Informações relevantes fornecidas: \;c,\;T_1,\;T_2\;.
Observação importante (informação que não foi dada explicitamente): o enunciado não informou a massa do corpo. Por isso, ao longo da resolução apresentarei a expressão por unidade de massa (variação de entropia massiva, isto é, por kg) e a expressão para um corpo de massa \;m\;.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): entropia e processo reversível.
A definição termodinâmica diferencial de entropia é:
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é a quantidade infinitesimal de calor trocada num processo reversível e T é a temperatura absoluta naquele instante. Essa fórmula diz que a variação infinitesimal de entropia é o calor reversível dividido pela temperatura. Para calcular a variação total de entropia entre dois estados basta integrar essa expressão ao longo de um processo reversível que conecte os dois estados, porque entropia é uma função de estado (o valor da variação não depende do caminho, desde que integremos com \delta Q_{\text{rev}}).

Passo 3

Ligando calor e capacidade térmica (explicação didática):
A quantidade de calor trocada quando a temperatura de um corpo muda de forma infinitesimal pode ser escrita em termos da capacidade térmica. Se \;m\; é a massa do corpo e \;c\; é o calor específico (por unidade de massa, assumido aqui constante), então a capacidade térmica total é \;C=m c\; e
\delta Q_{\text{rev}} = C\,dT = m c\,dT.
Explicação de termos: \;c\; tem unidades de energia por massa por grau (por exemplo \mathrm{J/(kg\cdot K)}); \;m\; está em \mathrm{kg}; \;dT\; é a variação infinitesimal de temperatura (em Kelvin). Estamos assumindo aqui que \;c\; é aproximadamente constante no intervalo de temperaturas considerado — essa é uma suposição padrão para exercícios básicos.

Passo 4

Montando a integral para a variação de entropia total \Delta S:
Usando dS=\delta Q_{\text{rev}}/T e \delta Q_{\text{rev}}=m c\,dT, obtemos
\Delta S=\int_{S_1}^{S_2} dS=\int_{T_1}^{T_2}\frac{m c\,dT}{T}.
Como m e c são constantes (pela suposição), podemos tirá-los da integral:
\Delta S = m c \int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.
A integral \int_{T_1}^{T_2}\dfrac{dT}{T} é a primitiva do tipo logaritmo natural:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Portanto:
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).

Passo 5

Forma por unidade de massa (variação de entropia massiva): se quiser a variação de entropia por quilograma, definimos \Delta s=\Delta S/m, então
\Delta s = c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Interpretação do sinal: se \;T_2>T_1\; então \ln(T_2/T_1)>0 e \Delta S>0 (entropia aumenta ao aquecer); se \;T_2<T_1\; então \Delta S<0. Requisito físico: as temperaturas devem estar em escala absoluta (Kelvin) para que a fórmula seja válida.

Passo 6

Caso c não seja constante (observação importante para provas mais avançadas):
Se o calor específico depende da temperatura, c=c(T), a expressão geral é
\Delta S = m \int_{T_1}^{T_2}\frac{c(T)}{T}\,dT,
ou por unidade de massa
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2}\frac{c(T)}{T}\,dT.
Nesse caso você não pode extrair c da integral e precisa conhecer a forma de c(T) para integrar.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para você praticar na prova): suponha \;m=2\\ \mathrm{kg},\;c=1000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\;T_1=300\\ \mathrm{K},\;T_2=600\\ \mathrm{K}. Então
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=2\cdot 1000\cdot \ln\!\left(\frac{600}{300}\right)=2000\ln(2)\approx 2000\times 0{,}6931\approx 1386{,}3\\ \mathrm{J/K}.
Isso serve para você ver números e praticar cálculos sem calculadora (lembre-se que \ln 2\approx 0{,}693).

Passo 8

Resumo e dica para a prova (ânimo!): a receita para esse tipo de questão é sempre lembrar da definição dS=\delta Q_{\text{rev}}/T, escrever \delta Q_{\text{rev}} em função de dT usando a capacidade térmica e integrar de T_1 a T_2. Use sempre temperaturas em Kelvin e verifique se c pode ser considerado constante no intervalo — se não puder, aplique a fórmula generalizada com c(T). Você está indo bem; essa é uma questão clássica e aparece muito em provas.

Resposta

\Delta s = c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)

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