(Unicamp-SP) Um relógio de pêndulo marca o tempo corretamente quando funciona à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Quando este relógio se encontra a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, seu período aumenta devido à dilatação da haste do pêndulo.
a) Ao final de 24 horas operando a 30^{\circ} \mathrm{C}, o relógio atrasa 8,64 \mathrm{~s}. Determine a relação entre os períodos \tau_{30} a 30^{\circ} \mathrm{C} e \tau_{20} a 20^{\circ} \mathrm{C}, isto é, \tau_{30} / \tau_{20}.
b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: o relógio funciona corretamente a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Informação: a 30^\circ\mathrm{C} a haste do pêndulo dilata e o período do pêndulo passa a ser \tau_{30} (maior do que \tau_{20}).
  • Informação numérica: depois de 24 horas de funcionamento a 30^\circ\mathrm{C} o relógio atrasa 8{,}64 s.
  • Informação numérica útil: 24 horas correspondem a T=24\cdot 3600=86400 s.
  • Pedido (a): determinar a razão \tau_{30}/\tau_{20}.
  • Pedido (b): determinar o coeficiente de dilatação linear \alpha da haste, usando aproximação (pequenas variações).

Passo 2

Como o relógio conta o tempo por oscilações do pêndulo, vou relacionar o número de oscilações com o tempo real e o tempo marcado.
  • Se o período fosse \tau_{20} (condição correta), em um tempo real T o número de oscilações seria
N=\frac{T}{\tau_{20}}.
O relógio foi calibrado para interpretar cada oscilação como \tau_{20} segundos, então o tempo mostrado seria N\cdot \tau_{20}=T (correto).
  • Com período \tau_{30}, no mesmo tempo real T o número de oscilações é
N'=\frac{T}{\tau_{30}}.
Mas o relógio continua a “achar” que cada oscilação vale \tau_{20} s, então o tempo mostrado será
T_{\text{marcado}}=N'\cdot \tau_{20}=\frac{T\,\tau_{20}}{\tau_{30}}.
  • Daí o atraso (tempo real menos marcado) é
\Delta T = T - T_{\text{marcado}} = T\left(1-\frac{\tau_{20}}{\tau_{30}}\right).
Definindo a razão procurada r=\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}, temos
\Delta T = T\left(1-\frac{1}{r}\right)=T\frac{r-1}{r}.

Passo 3

Agora uso os números dados para encontrar r.
  • Sabemos \Delta T=8{,}64 s e T=86400 s. Substituindo em
\Delta T = T\frac{r-1}{r}
obtemos a equação
8{,}64 = 86400\cdot\frac{r-1}{r}.
  • Resolver algebricamente:
8{,}64\,r = 86400(r-1)
8{,}64\,r = 86400 r - 86400
86400 r - 8{,}64 r = 86400
r(86400-8{,}64)=86400
r=\frac{86400}{86400-8{,}64}=\frac{86400}{86391{,}36}.
  • Podemos reescrever de forma conveniente:
r=\frac{1}{1-\dfrac{8{,}64}{86400}}=\frac{1}{1-0{,}0001}=\frac{1}{0{,}9999}.
  • Portanto, numericamente,
r=\frac{\tau_{30}}{\tau_{20}}\approx 1{,}00010001.
(Para efeitos práticos a diferença r-1 é aproximadamente 0{,}00010001.)

Passo 4

Agora relaciono a mudança do período com a dilatação da haste.
  • Fórmula do período do pêndulo (pequenas oscilações):
\tau = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde \tau é o período, L é o comprimento da haste (distância do ponto de suspensão ao centro de massa efetivo) e g é a aceleração da gravidade. Aqui g é constante (não depende da temperatura local para o nosso problema), então a variação de \tau vem da variação de L.
  • Se a haste tem coeficiente de dilatação linear \alpha, ao aumentar a temperatura em \Delta T o comprimento varia segundo a lei da dilatação linear:
L_{30}=L_{20}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde \Delta T=30^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Tomando razão dos períodos:
\frac{\tau_{30}}{\tau_{20}}=\sqrt{\frac{L_{30}}{L_{20}}}=\sqrt{1+\alpha\Delta T}.

Passo 5

Isolar \alpha usando a aproximação indicada (pequena \alpha\Delta T).
  • Escrevemos
r=\sqrt{1+\alpha\Delta T}.
  • Para \varepsilon=\alpha\Delta T pequeno vale a aproximação binomial (ou expansão em série):
\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{quando }\varepsilon\ll 1.
Explicação curta: essa aproximação vem da expansão (1+\varepsilon)^{1/2}=1+\tfrac{1}{2}\varepsilon-\tfrac{1}{8}\varepsilon^{2}+\cdots; para \varepsilon muito pequeno os termos quadráticos e superiores são desprezíveis.
  • Assim
r\approx 1+\frac{\alpha\Delta T}{2}.
Isolando \alpha,
\alpha\approx\frac{2(r-1)}{\Delta T}.

Passo 6

Calcular numericamente \alpha usando r encontrado e \Delta T=10^\circ\mathrm{C}.
  • Usando r-1\approx 0{,}00010001,
\alpha\approx\frac{2\cdot 0{,}00010001}{10}=0{,}000020002\\ \!^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Em notação científica e arredondando razoavelmente (a medição do atraso tem 3 dígitos significativos), obtemos
\alpha\approx 2{,}00\times 10^{-5}\\ \!^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Observação sobre validade: \alpha\Delta T\approx 2\times 10^{-4}\ll 1, então a aproximação usada é perfeitamente adequada.

Resposta

\displaystyle \frac{\tau_{30}}{\tau_{20}}\approx 1{,}00010001
\displaystyle \alpha\approx 2{,}00\times 10^{-5}\\ \!^\circ\mathrm{C}^{-1}

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