(Unicamp-SP) Um relógio de pêndulo marca o tempo corretamente quando funciona à temperatura de
. Quando este relógio se encontra a uma temperatura de
, seu período aumenta devido à dilatação da haste do pêndulo.
a) Ao final de 24 horas operando a
, o relógio atrasa
. Determine a relação entre os períodos
a
e
a
, isto é,
.
b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação.
a) Ao final de 24 horas operando a
b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: o relógio funciona corretamente a
. - Informação: a
a haste do pêndulo dilata e o período do pêndulo passa a ser (maior do que ). - Informação numérica: depois de
horas de funcionamento a o relógio atrasa s. - Informação numérica útil:
horas correspondem a s. - Pedido (a): determinar a razão
. - Pedido (b): determinar o coeficiente de dilatação linear
da haste, usando aproximação (pequenas variações).
Passo 2
Como o relógio conta o tempo por oscilações do pêndulo, vou relacionar o número de oscilações com o tempo real e o tempo marcado.
- Se o período fosse
(condição correta), em um tempo real o número de oscilações seria
O relógio foi calibrado para interpretar cada oscilação como
segundos, então o tempo mostrado seria
(correto).
- Com período
, no mesmo tempo real o número de oscilações é
Mas o relógio continua a “achar” que cada oscilação vale
s, então o tempo mostrado será
- Daí o atraso (tempo real menos marcado) é
Definindo a razão procurada
, temos
Passo 3
Agora uso os números dados para encontrar
.
- Sabemos
s e s. Substituindo em
obtemos a equação
- Resolver algebricamente:
- Podemos reescrever de forma conveniente:
- Portanto, numericamente,
(Para efeitos práticos a diferença
é aproximadamente
.)
Passo 4
Agora relaciono a mudança do período com a dilatação da haste.
- Fórmula do período do pêndulo (pequenas oscilações):
onde
é o período,
é o comprimento da haste (distância do ponto de suspensão ao centro de massa efetivo) e
é a aceleração da gravidade. Aqui
é constante (não depende da temperatura local para o nosso problema), então a variação de
vem da variação de
.
- Se a haste tem coeficiente de dilatação linear
, ao aumentar a temperatura em o comprimento varia segundo a lei da dilatação linear:
onde
.
- Tomando razão dos períodos:
Passo 5
Isolar
usando a aproximação indicada (pequena
).
- Escrevemos
- Para
pequeno vale a aproximação binomial (ou expansão em série):
Explicação curta: essa aproximação vem da expansão
; para
muito pequeno os termos quadráticos e superiores são desprezíveis.
- Assim
Isolando
,
Passo 6
Calcular numericamente
usando
encontrado e
.
- Usando
,
- Em notação científica e arredondando razoavelmente (a medição do atraso tem 3 dígitos significativos), obtemos
- Observação sobre validade:
, então a aproximação usada é perfeitamente adequada.