Um aluno está assistindo um jogo no Maracanã e observa que um dos holofotes está dirigido para o gol. Com seus conhecimentos de Física, ele deixa de olhar o jogo para calcular o efeito da radiação eletromagnética sobre o goleiro. Supondo que o holofote produza um cone de luz com abertura de 20 graus, que esteja a 50 m do gol, que tenha uma potência 10^{4} \mathrm{~W}, e que a área efetiva de absorção do goleiro seja de 0.50 \mathrm{~m}^{2}, calcule a energia absorvida pelo goleiro em um tempo de jogo ( 45 min ). ( 55 kJ )

Passo 1

O enunciado descreve um holofote que emite potência de \,10^4,W formando um cone de abertura total de 20^\circ. Ele está a 50,m do gol, e queremos saber quanta energia o goleiro absorve numa área efetiva de 0{,}50,m ^2 durante 45,min. O conteúdo é cálculo de área iluminada, irradiância e energia radiada.

Passo 2

Para achar a área do círculo iluminado no gol, primeiro determinamos o semiângulo do cone:
\theta = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ.
A distância ao gol é R=50,m, logo o raio do círculo é
r = R \tan(\theta) = 50 \tan(10^\circ).
Em seguida, calculamos a área iluminada:
A_{\text{cone}} = \pi\,r^2 = \pi \bigl(50 \tan(10^\circ)\bigr)^{2}.

Passo 3

A irradiância (fluxo por área) na região iluminada é a potência dividida pela área:
E = \frac{P}{A_{\text{cone}}} = \frac{10^4}{\pi \bigl(50 \tan(10^\circ)\bigr)^{2}}\quad[\text{W/m}^2].

Passo 4

A potência que incide no goleiro de área A_g=0{,}50,m ^2 é
P_g = E \times A_g.

Passo 5

A energia absorvida em t=45,min =45\times60=2700,s é
\mathcal{E} = P_g \, t = \Bigl(\frac{10^4}{\pi (50 \tan(10^\circ))^2}\times 0{,}50\Bigr)\times 2700 \approx 5{,}5\times10^4\\ \text{J}.

Resposta

A energia absorvida pelo goleiro em 45 min é aproximadamente 5{,}5\times10^4 J, ou 55 kJ.

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