Um aluno de Cálculo 3 realiza três provas durante o semestre, mas possui um tempo limitado para estudar e fazer os exercícios. Considere que a nota de cada prova do aluno seja dada em função da quantidade de exercícios que o mesmo realiza e é dada pela fórmula
em que
é o número de exercícios feitos com a matéria da
-ésima prova e
é uma constante que mede a dificuldade da mesma. Suponha que a primeira prova seja a mais fácil, com
e
. (a) Calcule quantos exercícios devem ser feitos com a matéria de cada prova para obter a maior menção final se o aluno puder fazer apenas 50 exercícios ao longo do semestre, sabendo que a menção é calculada como sendo a média aritmética das notas de cada prova. (b) Substitua
e calcule os valores de
e
que resultam na maior menção final e as notas obtidas em cada uma das provas.
Passo 1
O enunciado pede para distribuir um total de 50 exercícios entre três provas para maximizar a menção final, que é a média aritmética das notas dadas por
. Sabemos que
e
. Vamos usar otimização com restrição.
Passo 2
Escrevemos o problema como maximizar
sujeito a
. Como maximizar
ou sua soma é equivalente, montamos o Lagrangiano:
Passo 3
Derivando
em relação a
e igualando a zero obtemos a condição de ótimo:$$\frac{\partial L}{\partial x_i}=10\lambda_i e^{-\lambda_i x_i}-\mu=0\quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda_i x_i}=\frac{\mu}{10\lambda_i}.
$$
Passo 4
Isolando
vem:$$x_i=\frac{1}{\lambda_i}\ln\Bigl(\frac{10\lambda_i}{\mu}\Bigr).
$$
Passo 5
Substituímos
e
. Chamando
e
, temos
e a restrição
Passo 6
Notando que
, resolvemos
e achamos
$$B=20\lambda-\frac{\ln2}{5},\quad A=20\lambda+\tfrac{4}{5}\ln2.
$$
Passo 7
Logo as alocações ótimas em função de
são:
$$x_1=10+\frac{2\ln2}{5\lambda},\quad x_2=x_3=20-\frac{\ln2}{5\lambda}.
$$
Passo 8
Para
calculamos numericamente:
$$x_1\approx17,92,\quad x_2=x_3\approx16,04.
$$
Resposta
As alocações ótimas são
e
. Para
obtém-se numericamente
,
, com notas
e
.