Um aluno de Cálculo 3 realiza três provas durante o semestre, mas possui um tempo limitado para estudar e fazer os exercícios. Considere que a nota de cada prova do aluno seja dada em função da quantidade de exercícios que o mesmo realiza e é dada pela fórmula
Ni(xi)=10(1-e^-lambdai xi),
em que xi é o número de exercícios feitos com a matéria da i-ésima prova e lambdai é uma constante que mede a dificuldade da mesma. Suponha que a primeira prova seja a mais fácil, com lambda1=2 lambda e lambda2=lambda3=lambda. (a) Calcule quantos exercícios devem ser feitos com a matéria de cada prova para obter a maior menção final se o aluno puder fazer apenas 50 exercícios ao longo do semestre, sabendo que a menção é calculada como sendo a média aritmética das notas de cada prova. (b) Substitua lambda=0,035 e calcule os valores de x1, x2 e x3 que resultam na maior menção final e as notas obtidas em cada uma das provas.

Passo 1

O enunciado pede para distribuir um total de 50 exercícios entre três provas para maximizar a menção final, que é a média aritmética das notas dadas por Ni(xi)=10(1-exp(-lambdai xi)). Sabemos que lambda1=2lambda e lambda2=lambda3=lambda. Vamos usar otimização com restrição.

Passo 2

Escrevemos o problema como maximizar f(x1,x2,x3)=sumi=1^3 Ni(xi) sujeito a x1+x2+x3=50. Como maximizar f ou sua soma é equivalente, montamos o Lagrangiano: L=sumi=1^3 10l(1-e^-lambdai xir)-mu(x1+x2+x3-50)

Passo 3

Derivando L em relação a xi e igualando a zero obtemos a condição de ótimo:$$\frac{\partial L}{\partial x_i}=10\lambda_i e^{-\lambda_i x_i}-\mu=0\quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda_i x_i}=\frac{\mu}{10\lambda_i}.
$$

Passo 4

Isolando xi vem:$$x_i=\frac{1}{\lambda_i}\ln\Bigl(\frac{10\lambda_i}{\mu}\Bigr).
$$

Passo 5

Substituímos lambda1=2lambda e lambda2=lambda3=lambda. Chamando A=ln(20lambda/mu) e B=ln(10lambda/mu), temos
x1=A2lambda, x2=x3=Blambda,
e a restrição x1+2x2=50 leva a A/2+2B=50lambda.

Passo 6

Notando que A=ln2+B, resolvemos ln2+5B=100lambda e achamos
$$B=20\lambda-\frac{\ln2}{5},\quad A=20\lambda+\tfrac{4}{5}\ln2.
$$

Passo 7

Logo as alocações ótimas em função de lambda são:
$$x_1=10+\frac{2\ln2}{5\lambda},\quad x_2=x_3=20-\frac{\ln2}{5\lambda}.
$$

Passo 8

Para lambda=0,035 calculamos numericamente:
$$x_1\approx17,92,\quad x_2=x_3\approx16,04.
x1approx17,92, x2=x3approx16,04 N_1=10\bigl(1-e^{-0,07\cdot17,92}\bigr)\approx7,15,\quad N_2=N_3=10\bigl(1-e^{-0,035\cdot16,04}\bigr)\approx4,29.
$$

Resposta

As alocações ótimas são x1=10+tfrac2ln25lambda e x2=x3=20-tfracln25lambda. Para lambda=0,035 obtém-se numericamente x1approx17,92, x2=x3approx16,04, com notas N1approx7,15 e N2=N3approx4,29.

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