Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
c x^prime=x+2 y y^prime=-2 x+y x(0)=1, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema de EDOs lineares de primeiro ordem com coeficientes constantes: x' = x + 2y, y' = -2x + y, sujeitas às condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1. Vamos usar o método matricial via autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial X' = A X, onde X = xy e
A = 1 & 2-2 & 1

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det1-lambda & 2-2 & 1-lambda = (1-lambda)^2 + 4 = 0
Isso dá
lambda^2 - 2lambda + 5 = 0 implies lambda = 1 pm 2i

Passo 4

Escolhemos o autovalor lambda = 1 + 2i e resolvemos (A - lambda I)v=0. Tem-se
-2i & 2-2 & -2i v1v2 = 0
Que leva a v2 = i v1. Tomando v1=1, um autovetor é v = 1 i.

Passo 5

A solução complexa associada é
Xc(t) = v e^(1+2i)t = e^t1 i(cos2t + isin2t)

Passo 6

Usando a fórmula de Euler, separamos parte real e imaginária para obter duas soluções reais independentes:
X1(t) = e^tcos2t-sin2t, X2(t) = e^tsin2tcos2t

Passo 7

A solução geral é X(t) = alpha X1(t) + beta X2(t). Em t=0 temos
X(0) = 11 = alpha10 + beta01
Logo alpha=1 e beta=1.

Passo 8

Substituindo alpha e beta na expressão geral, chegamos à solução explícita do sistema.

Resposta

x(t) = e^tl(cos2t + sin2tr), y(t) = e^tl(cos2t - sin2tr).

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