O objetivo deste exercício é provar que para todo x, y >= 0 vale
1alpha x^alpha+1beta x^beta >= x y
em que alpha, beta >= 1 são números tais que 1alpha+1beta=1. Para tal, vamos mostrar que a função
f(x, y)=1alpha x^alpha+1beta x^beta-x y
satisfaz f(x, y) >= 0 para todo x, y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a chamada desigualdade de Young, que diz que para todo x,y≥0 e para α,β≥1 com 1/α+1/β=1 vale x y <= 1α x^α+1β y^β. Vamos mostrar isso definindo a função f(x)=1α x^α+1β y^β - x y (em que tratamos y como parâmetro fixo) e provando que f(x)>=0 para todo x≥0.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de f em relação a x:
f'(x)=ddxl(tfrac1α x^αr)+ddxl(-x yr)=x^α-1-y

Passo 3

Em seguida, checamos a convexidade de f no argumento x via a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(x^α-1-yr)=(α-1)x^α-2>=0(α>=1, x>=0)

Passo 4

Como f''(x)>=0, a função f(x) é convexa em x e atinge mínimo onde f'(x)=0. Logo
x^α-1=yLongrightarrow x0=y^1/(α-1)

Passo 5

Pela condição 1/α+1/β=1 segue 1/(α-1)=β-1, isto é,
x0=y^β-1

Passo 6

Por fim, avaliamos o valor mínimo:
f(x0)=1α x0^α+1β y^β - x0 y

Passo 7

Note que
x0^α=(y^β-1)^α=y^α(β-1)=y^β,
e também x0y=y^β-1y=y^β. Assim
f(x0)=1α y^β+1β y^β -y^β=l(tfrac1α+tfrac1β -1r)y^β=0

Passo 8

Como f(x) é convexa e seu valor mínimo é zero, conclui-se que f(x)>=0 para todo x≥0.
Isso implica imediatamente a desigualdade original.

Resposta

Para todo x,y\ge0 com α,β≥1 e 1/α+1/β=1 vale
x y<=1α x^α+1β y^β,
isto é,
1α x^α+1β y^β-xy>=0

Exercícios relacionados