O objetivo deste exercício é provar que para todo
vale
em que
são números tais que
. Para tal, vamos mostrar que a função
satisfaz
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a chamada desigualdade de Young, que diz que para todo x,y≥0 e para α,β≥1 com 1/α+1/β=1 vale
. Vamos mostrar isso definindo a função
(em que tratamos y como parâmetro fixo) e provando que
para todo x≥0.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada de
em relação a x:
Passo 3
Em seguida, checamos a convexidade de
no argumento x via a segunda derivada:
Passo 4
Como
, a função
é convexa em x e atinge mínimo onde
. Logo
Passo 5
Pela condição
segue
, isto é,
Passo 6
Por fim, avaliamos o valor mínimo:
Passo 7
Note que
e também
Passo 8
Como
é convexa e seu valor mínimo é zero, conclui-se que
para todo x≥0.
Isso implica imediatamente a desigualdade original.
Isso implica imediatamente a desigualdade original.
Resposta
Para todo x,y\ge0 com α,β≥1 e 1/α+1/β=1 vale
isto é,