Aluno(a):
Matrícula:
Turma:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
A região limitada pela reta
e pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo
. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume.
Matrícula:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
A região limitada pela reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a região delimitada pela reta $ x = 1 $ e pelos gráficos de $ y = x^{3} $, $ y = 1 $ e $ y = 8 $. A ideia é girar essa região ao redor do eixo $ y $ e descobrir o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de volumes por rotação, especialmente usando o método dos discos ou anéis. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. Temos:
- A reta vertical $ x = 1 $.
- A curva $ y = x^{3} $.
- As retas horizontais $ y = 1 $ e $ y = 8 $.
Vamos esboçar essa região no plano cartesiano. A curva $ y = x^{3} $ é uma função crescente que passa pela origem. A reta $ x = 1 $ corta essa curva nos pontos onde $ y = 1^{3} = 1 $. Então, nossa região está limitada entre $ y = 1 $ e $ y = 8 $, e entre $ x = 1 $ e a curva $ y = x^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos pensar na rotação dessa região em torno do eixo $ y $. Para calcular o volume do sólido formado, podemos usar o método dos discos ou anéis. Como estamos girando em torno do eixo $ y $, é mais conveniente usar uma integração em termos de $ y $.
Primeiro, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $. Da equação $ y = x^{3} $, temos:
Então, a largura do nosso anel será a diferença entre $ x = 1 $ e $ x = \sqrt[3]{y} $.
Passo 4
O volume de um anel (anel de disco) em torno do eixo $ y $ é dado pela fórmula:
Onde:
- $ R(y) $ é o raio externo.
- $ r(y) $ é o raio interno.
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
No nosso caso:
- O raio externo $ R(y) $ é $ x = 1 $.
- O raio interno $ r(y) $ é $ x = \sqrt[3]{y} $.
- Os limites de integração são de $ y = 1 $ a $ y = 8 $.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar de 1 a 8.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 8
Calculando para $ y = 8 $:
Então:
Calculando para $ y = 1 $:
Então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada é $ \frac{58}{5} \pi $ unidades cúbicas.