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IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
A região limitada pela reta x=1 e pelos gráficos de y=x^3, y=1 e y=8 gira em torno do eixo y. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a região delimitada pela reta $ x = 1 $ e pelos gráficos de $ y = x^{3} $, $ y = 1 $ e $ y = 8 $. A ideia é girar essa região ao redor do eixo $ y $ e descobrir o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de volumes por rotação, especialmente usando o método dos discos ou anéis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. Temos:
  • A reta vertical $ x = 1 $.
  • A curva $ y = x^{3} $.
  • As retas horizontais $ y = 1 $ e $ y = 8 $.
Vamos esboçar essa região no plano cartesiano. A curva $ y = x^{3} $ é uma função crescente que passa pela origem. A reta $ x = 1 $ corta essa curva nos pontos onde $ y = 1^{3} = 1 $. Então, nossa região está limitada entre $ y = 1 $ e $ y = 8 $, e entre $ x = 1 $ e a curva $ y = x^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos pensar na rotação dessa região em torno do eixo $ y $. Para calcular o volume do sólido formado, podemos usar o método dos discos ou anéis. Como estamos girando em torno do eixo $ y $, é mais conveniente usar uma integração em termos de $ y $.
Primeiro, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $. Da equação $ y = x^{3} $, temos:
y
Então, a largura do nosso anel será a diferença entre $ x = 1 $ e $ x = \sqrt[3]{y} $.

Passo 4

O volume de um anel (anel de disco) em torno do eixo $ y $ é dado pela fórmula:
y
Onde:
  • $ R(y) $ é o raio externo.
  • $ r(y) $ é o raio interno.
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
No nosso caso:
  • O raio externo $ R(y) $ é $ x = 1 $.
  • O raio interno $ r(y) $ é $ x = \sqrt[3]{y} $.
  • Os limites de integração são de $ y = 1 $ a $ y = 8 $.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral1^8 (1^2 - (raiz[3]y)^2 ) dy = pi integral1^8 (1 - y^23 ) dy
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral (1 - y^23 ) dy = integral 1 , dy - integral y^23 , dy = y - 35 y^53 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar de 1 a 8.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
V = pi [ ( y - 35 y^53 ) |1^8 ] = pi [ (8 - 35 times 8^53 ) - (1 - 35 times 1^53 ) ]
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando para $ y = 8 $:
y = 8
Então:
8^53 = (8^13)^5 = 2^5 = 32
Calculando para $ y = 1 $:
8 - 35 times 32 = 8 - 965 = 405 - 965 = -565
Então:
y = 1

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:
V = pi [ -565 - 25 ] = pi ( -585 ) = -585 pi
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo:
V = 585 pi

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada é $ \frac{58}{5} \pi $ unidades cúbicas.

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