Calcule a integral de linha integralgamma(|x|+|y|) d s e integral-gamma(|x|+|y|) d s, onde gamma é o segmento de reta A B, com A(-2,0) e B(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais de linha: integralgamma(|x|+|y|) , ds e integral-gamma(|x|+|y|) , ds. Aqui, gamma é o segmento de reta que vai do ponto A(-2,0) até o ponto B(2,2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrização de curvas e cálculo de arcos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma de uma função ao longo de um caminho específico. No nosso caso, a função a ser integrada é |x| + |y|, e o caminho é a reta de A a B.

Passo 3

Para facilitar, vamos parametrizar a reta gamma de A(-2,0) a B(2,2). A parametrização linear de uma reta entre dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) pode ser dada por:
x(t) = x1 + (x2 - x1)t
y(t) = y1 + (y2 - y1)t
onde t varia de 0 a 1.

Passo 4

Aplicando isso aos nossos pontos:
x(t) = -2 + (2 - (-2))t = -2 + 4t
y(t) = 0 + (2 - 0)t = 2t
Então, nossa parametrização é x(t) = -2 + 4t e y(t) = 2t, com t in [0,1].

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a expressão diferencial de arco, ds. Para uma curva parametrizada por t, temos:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 4
dydt = 2
Então:
ds = raiz4^2 + 2^2 , dt = raiz16 + 4 , dt = raiz20 , dt = 2raiz5 , dt

Passo 6

Substituindo x(t) e y(t) na função |x| + |y|:
|x(t)| + |y(t)| = | -2 + 4t | + |2t|
Vamos analisar os valores absolutos:
  • Para | -2 + 4t |, encontramos onde a expressão muda de sinal:
    -2 + 4t = 0 implies t = 12.
    Então, para t < 0,5, | -2 + 4t | = -(-2 + 4t) = 2 - 4t.
    Para t >= 0,5, | -2 + 4t | = -2 + 4t.
  • Para |2t| = 2t, já que t >= 0.

Passo 7

Agora, dividimos a integral em dois intervalos devido à mudança nos valores absolutos:
  1. De t = 0 a t = 0,5:
    |x(t)| + |y(t)| = (2 - 4t) + 2t = 2 - 2t
  2. De t = 0,5 a t = 1:
    |x(t)| + |y(t)| = (-2 + 4t) + 2t = -2 + 6t

Passo 8

Agora, calculamos cada integral separadamente e depois somamos:
  1. Para t in [0,0.5]:
integral0^0.5 (2 - 2t) cdot 2raiz5 , dt = 2raiz5 integral0^0.5 (2 - 2t) , dt
Integrando:
2raiz5 [2t - t^2 ]0^0.5 = 2raiz5 [(2 times 0,5 - (0,5)^2) - (0 - 0) ] = 2raiz5 (1 - 0,25) = 2raiz5 times 0,75 = 1,5 times 2raiz5 = 3raiz5
  1. Para t in [0.5,1]:
integral0.5^1 (-2 + 6t) cdot 2raiz5 , dt = 2raiz5 integral0.5^1 (-2 + 6t) , dt
Integrando:
2raiz5 [-2t + 3t^2 ]0.5^1 = 2raiz5 [(-2 times 1 + 3 times 1^2) - (-2 times 0,5 + 3 times (0,5)^2) ]
= 2raiz5 [(-2 + 3) - (-1 + 0,75) ] = 2raiz5 [1 - (-0,25) ] = 2raiz5 times 1,25 = 2,5 times 2raiz5 = 5raiz5

Passo 9

Somando as duas partes:
3raiz5 + 5raiz5 = 8raiz5

Resposta

A integral de linha integralgamma(|x|+|y|) , ds vale 8raiz5 e a integral integral-gamma(|x|+|y|) , ds também vale 8raiz5.

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