Calcule a integral de linha e , onde é o segmento de reta , com A(-2,0) e B(2,2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais de linha: integralgamma(|x|+|y|) , ds e integral-gamma(|x|+|y|) , ds. Aqui, gamma é o segmento de reta que vai do ponto A(-2,0) até o ponto B(2,2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrização de curvas e cálculo de arcos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma de uma função ao longo de um caminho específico. No nosso caso, a função a ser integrada é |x| + |y|, e o caminho é a reta de A a B.
Passo 3
Para facilitar, vamos parametrizar a reta gamma de A(-2,0) a B(2,2). A parametrização linear de uma reta entre dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) pode ser dada por:
x(t) = x1 + (x2 - x1)t
y(t) = y1 + (y2 - y1)t
onde t varia de 0 a 1.
Passo 4
Aplicando isso aos nossos pontos:
x(t) = -2 + (2 - (-2))t = -2 + 4t
y(t) = 0 + (2 - 0)t = 2t
Então, nossa parametrização é x(t) = -2 + 4t e y(t) = 2t, com t in [0,1].
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a expressão diferencial de arco, ds. Para uma curva parametrizada por t, temos: