Aluno(a):
Matrícula:
Turma:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo eixo
e pela curva
quando a região gira em torno da reta
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Matrícula:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelo eixo $ x $ e pela curva $ y = -x^2 + 3x $ ao redor da reta $ x = -1 $. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes por rotação, usando o método de cilindros (ou “camadas cilíndricas”). Para resolver isso, vamos precisar entender como usar esse método e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva $ y = -x^2 + 3x $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
Então, a região que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a rotação dessa área em torno da reta $ x = -1 $. Como estamos girando ao redor de uma linha vertical que não passa pelo eixo $ y $, o método de cilindros é o mais adequado. Nesse método, consideramos uma pequena “fatia” vertical da região a uma certa posição $ x $, que ao girar forma um cilindro.
Passo 4
Para aplicar o método de cilindros, precisamos calcular o raio e a altura de cada cilindro. O raio é a distância da faixa até a reta de rotação, que é $ x = -1 $. Portanto, o raio $ r $ será:
A altura $ h $ do cilindro é a função $ y $, ou seja:
Passo 5
A fórmula para o volume de um cilindro é:
Substituindo $ r $ e $ h $:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos $ dV $ de $ x = 0 $ até $ x = 3 $:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Como os termos com 0 desaparecem, fica:
Passo 10
Simplificando as frações:
Passo 11
Multiplicamos pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \frac{45\pi}{2} $ unidades cúbicas.