Aluno(a):
Matrícula: Turma:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo eixo x e pela curva y=-x^2+3 x quando a região gira em torno da reta x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelo eixo $ x $ e pela curva $ y = -x^2 + 3x $ ao redor da reta $ x = -1 $. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes por rotação, usando o método de cilindros (ou “camadas cilíndricas”). Para resolver isso, vamos precisar entender como usar esse método e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva $ y = -x^2 + 3x $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $:
y = -x^2 + 3x
Então, a região que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a rotação dessa área em torno da reta $ x = -1 $. Como estamos girando ao redor de uma linha vertical que não passa pelo eixo $ y $, o método de cilindros é o mais adequado. Nesse método, consideramos uma pequena “fatia” vertical da região a uma certa posição $ x $, que ao girar forma um cilindro.

Passo 4

Para aplicar o método de cilindros, precisamos calcular o raio e a altura de cada cilindro. O raio é a distância da faixa até a reta de rotação, que é $ x = -1 $. Portanto, o raio $ r $ será:
x = -1
A altura $ h $ do cilindro é a função $ y $, ou seja:
r

Passo 5

A fórmula para o volume de um cilindro é:
dV = 2pi times r times h times dx
Substituindo $ r $ e $ h $:
r

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos $ dV $ de $ x = 0 $ até $ x = 3 $:
dV

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(x + 1)(-x^2 + 3x) = -x^3 + 3x^2 - x^2 + 3x = -x^3 + 2x^2 + 3x
Então, a integral fica:
V = 2pi integral0^3 (-x^3 + 2x^2 + 3x) , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-x^3 + 2x^2 + 3x) , dx = -x^44 + 2x^33 + 3x^22

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
V = 2pi [ ( -3^44 + 2 times 3^33 + 3 times 3^22 ) - ( -0^44 + 2 times 0^33 + 3 times 0^22 ) ]
Como os termos com 0 desaparecem, fica:
V = 2pi ( -814 + 543 + 272 )

Passo 10

Simplificando as frações:
-814 + 543 + 272 = -814 + 18 + 272 = -814 + 724 + 544 = -81 + 72 + 54 4 = 454

Passo 11

Multiplicamos pelo $ 2\pi $:
2pi

Resposta

O volume do sólido gerado é $ \frac{45\pi}{2} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados