Calcule a integral.
integral sen^2 x sen 2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral sin^2x,sin2x,dx. Aqui o conteúdo envolve identidades trigonométricas e substituição simples para integrar polinômios em seno e cosseno.

Passo 2

A primeira ideia é usar a identidade sin2x=2sin xcos x. Substituindo na integral, temos:
integral sin^2x,sin2x,dx=integral sin^2x,(2sin xcos x),dx=integral 2sin^3xcos x,dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=sin x, de onde du=cos x,dx. Assim o integrando se transforma num polinômio em u:
integral 2sin^3xcos x,dx=integral 2u^3,du

Passo 4

Integrando o polinômio em u:
integral 2u^3,du=2cdotu^44+C=u^42+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x usando u=sin x, obtendo a primitiva:
sin^4x2+C

Resposta

12sin^4x+C

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