Aluno(a):
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IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Determine o comprimento de arco da curva y=x^32 no intervalo [0,5].

Passo 1

Estamos com a curva y = x^3/2 no intervalo [0,5] e o objetivo é achar o comprimento de arco dessa curva. Esse conteúdo faz parte do tópico de comprimento de arco de curvas em coordenadas cartesianas, para o qual vamos precisar da fórmula que envolve a derivada y' e integrais.

Passo 2

A fórmula de comprimento de arco de uma curva y = f(x) no intervalo de a até b é dada por
L = integrala^b raiz1 + l(y'r)^2,dx
Aqui vamos aplicar exatamente essa definição substituindo y = x^3/2.

Passo 3

Primeiro calculamos a derivada de y. Como y = x^3/2, temos
y' = 32x^1/2
Substituindo em 1 + (y')^2 obtemos
1 + (y')^2 = 1 + 94x

Passo 4

Agora simplificamos o integrando:
raiz1 + 94x = raiz4 + 9x4 = 12raiz9x + 4

Passo 5

Assim, o comprimento de arco fica
L = integral0^5 raiz1 + (y')^2,dx = 12integral0^5 raiz9x + 4,dx

Passo 6

Para resolver integral raiz9x + 4,dx, fazemos a substituição u = 9x + 4, logo du = 9,dx e dx = du9. Assim:
integral raiz9x + 4,dx = 19integral u^1/2,du = 19cdot 23u^3/2 = 227u^3/2
Voltando aos limites originais ( x=0Rightarrow u=4, x=5Rightarrow u=49) e lembrando do fator tfrac12, temos
L = 12l[227u^3/2r]4^49 = 127l(49^3/2 - 4^3/2r)

Resposta

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