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Calcule as integrais impróprias se elas convergirem:
integral5^infty x(9-x^2)^13 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: integral5^infty x(9 - x^2)^13 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que se estendem ao infinito e verificar se a integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar: x(9 - x^2)^13. Observamos que o denominador tem a expressão 9 - x^2 elevada a 13, o que indica que estamos lidando com uma raiz cúbica. Como o limite superior da integral é o infinito, precisamos analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos fazer uma substituição. Vamos substituir u = x^2. Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x
Substituindo esses valores na integral original:
integral x(9 - x^2)^13 , dx = integral x(9 - u)^13 cdot du2x = 12 integral 1(9 - u)^13 , du

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples: 12 integral 1(9 - u)^13 , du. Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
integral 1(a - u)^13 , du = 32 (a - u)^23 + C
Aplicando isso na nossa integral:
12 cdot 32 (9 - u)^23 + C = 34 (9 - u)^23 + C

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição u = x^2, vamos voltar para x:
34 (9 - x^2)^23 + C
Portanto, a antiderivada da função original é 34 (9 - x^2)^23 + C.

Passo 6

Agora, precisamos avaliar os limites da integral imprópria: de 5 até infty. Isso significa que vamos calcular:
limb to infty [ 34 (9 - b^2)^23 - 34 (9 - 5^2)^23 ]

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de (9 - b^2)^23 quando b tende ao infinito. Como b^2 cresce sem limites, 9 - b^2 se torna uma grande quantidade negativa. A raiz cúbica de um número negativo é negativo, e ao elevar ao quadrado, o resultado é positivo:
(9 - b^2)^23 = (- (b^2 - 9))^23 = (b^2 - 9)^23
À medida que b tende ao infinito, (b^2 - 9)^23 também tende ao infinito.

Passo 8

Então, o limite fica:
limb to infty [ 34 (b^2 - 9)^23 - 34 (9 - 25)^23 ] = limb to infty 34 (b^2 - 9)^23 - 34 (-16)^23
limb to infty 34 (b^2 - 9)^23 = infty, e 34 (-16)^23 é uma constante finita.

Passo 9

Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral imprópria diverge. Ou seja, ela não converge para um valor finito.

Resposta

A integral imprópria diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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