Aluno(a):
Matrícula:
Turma:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Calcule as integrais impróprias se elas convergirem:
Matrícula:
IMPORTANTE!!! Por gentileza, Coloque o celular na minha mesa, não remova o grampo da prova e não apague as contas.
Calcule as integrais impróprias se elas convergirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que se estendem ao infinito e verificar se a integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar:
. Observamos que o denominador tem a expressão
elevada a
, o que indica que estamos lidando com uma raiz cúbica. Como o limite superior da integral é o infinito, precisamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos fazer uma substituição. Vamos substituir
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Substituindo esses valores na integral original:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
. Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para
:
Portanto, a antiderivada da função original é
.
Passo 6
Agora, precisamos avaliar os limites da integral imprópria: de
até
. Isso significa que vamos calcular:
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como
cresce sem limites,
se torna uma grande quantidade negativa. A raiz cúbica de um número negativo é negativo, e ao elevar ao quadrado, o resultado é positivo:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito.
Passo 8
Então, o limite fica:
Passo 9
Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral imprópria diverge. Ou seja, ela não converge para um valor finito.
Resposta
A integral imprópria diverge, ou seja, não converge para um valor finito.