Recordando o polinômio de Taylor…
- Lembrando que
significa a
-ésima derivada de
aplicada em zero.
- E não esquecer que
!
Encontrar o polinômio de
grau no caso da função
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Encontrar o polinômio de
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função $ f(x) = \ln(2x + 1) $. O que é o polinômio de Taylor? É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para isso, precisamos saber como calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do polinômio de Taylor:
Isso significa que a gente vai somar os termos das derivadas da função avaliadas em 0, divididas pelo fatorial de $ n $, multiplicadas por $ x^n $. Como queremos o polinômio de grau 4, vamos calcular até $ n = 4 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(2x + 1) $ até a quarta ordem e avaliar em $ x = 0 $.
- Primeira derivada:
Avaliando em 0:
- Segunda derivada:
Avaliando em 0:
- Terceira derivada:
Avaliando em 0:
- Quarta derivada:
Avaliando em 0:
Passo 4
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando essas derivadas:
Sabemos que $ f(0) = \ln(1) = 0 $. Substituindo os valores das derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Mas nas opções só tem até $ x^4 $ e sem o termo $ x^3 $. Isso sugere que talvez o polinômio seja aproximado até $ x^4 $ sem o termo cúbico. Observando as opções, a que mais se aproxima é a letra b):
Resposta
A alternativa correta é a b) $ P_{4}(x) = -x^{2} + \frac{1}{2} x^{4} $.