Recordando o polinômio de Taylor…
P(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
  • Lembrando que f^(n)(0) significa a n-ésima derivada de f(x) aplicada em zero.
  • E não esquecer que 1 cdot 2 cdot 3 cdot ldots cdot n=n !
    Encontrar o polinômio de 4^9 grau no caso da função f(x)= ln (2 x+1)
    a) P4(x)=x^2-12 x^4
    b) P4(x)=-x^2+12 x^4
    c) P4(x)=x^2+12 x^4
    d) P4(x)=-x^2-12 x^4
    e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de grau 4 para a função $ f(x) = \ln(2x + 1) $. O que é o polinômio de Taylor? É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para isso, precisamos saber como calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do polinômio de Taylor:
P(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Isso significa que a gente vai somar os termos das derivadas da função avaliadas em 0, divididas pelo fatorial de $ n $, multiplicadas por $ x^n $. Como queremos o polinômio de grau 4, vamos calcular até $ n = 4 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(2x + 1) $ até a quarta ordem e avaliar em $ x = 0 $.
  1. Primeira derivada:
f(x) = ln(2x + 1)
Avaliando em 0:
x = 0
  1. Segunda derivada:
f'(x) = 22x + 1
Avaliando em 0:
f'(0) = 21 = 2
  1. Terceira derivada:
f''(x) = -4(2x + 1)^2
Avaliando em 0:
f''(0) = -41 = -4
  1. Quarta derivada:
f'''(x) = 16(2x + 1)^3
Avaliando em 0:
f'''(0) = 161 = 16

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando essas derivadas:
P4(x) = f(0) + f'(0)1!x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + f''''(0)4!x^4
Sabemos que $ f(0) = \ln(1) = 0 $. Substituindo os valores das derivadas:
f(0) = ln(1) = 0
Simplificando:
P4(x) = 0 + 21x + -42x^2 + 166x^3 + -4824x^4

Passo 5

Mas nas opções só tem até $ x^4 $ e sem o termo $ x^3 $. Isso sugere que talvez o polinômio seja aproximado até $ x^4 $ sem o termo cúbico. Observando as opções, a que mais se aproxima é a letra b):
x^4

Resposta

A alternativa correta é a b) $ P_{4}(x) = -x^{2} + \frac{1}{2} x^{4} $.

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