Um aluno necessita de um resistor que, ligado a uma tomada de 220 V , gere 2200 W de potência térmica. Ele constrói o resistor usando fio de constante No. 30 com área de seção transversal de 5,0.10^{-2} \mathrm{~mm}^{2} e condutividade elétrica de 2,0.10^{6}(\Omega \mathrm{~m})^{-1}.
a) Que corrente elétrica passará pelo resistor?
b) Qual será a sua resistência elétrica?
c) Quantos metros de fio deverão ser utilizados?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas:
  • Tensão da tomada: \,V=220\\ \mathrm{V} (dado).
  • Potência térmica desejada: \,P=2200\\ \mathrm{W} (dado).
  • Área da seção transversal do fio (dado da questão; estou pegando esse valor do enunciado): \,A_{\text{mm}^2}=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}^2.
  • Condutividade elétrica do material do fio (dado): \,\sigma=2{,}0\times10^{6}\\ (\Omega\\ \mathrm{m})^{-1}.
    Perguntas:
    a) Que corrente elétrica passará pelo resistor?
    b) Qual será a sua resistência elétrica?
    c) Quantos metros de fio deverão ser utilizados?

Passo 2

Vamos achar a corrente usando a relação entre potência, tensão e corrente. A fórmula que relaciona potência elétrica dissipada por um resistor, a tensão aplicada e a corrente é:
P = V\cdot I
onde \,P é a potência (em watts), \,V é a diferença de potencial (em volts) e \,I é a corrente elétrica (em ampères). Essa fórmula vem de combinar P=VI (definição de potência elétrica instantânea) com a situação constante em resistor. Portanto isolamos \,I:
I=\frac{P}{V}.
Agora substituímos os valores numéricos do enunciado:
I=\frac{2200}{220}.
Calcule:
I=10\\ \mathrm{A}.
Interpretação rápida: para obter 2200\\ \mathrm{W} com 220\\ \mathrm{V} precisamos de 10\\ \mathrm{A}. Ótimo — número redondo, facilita contas depois.

Passo 3

Agora determinamos a resistência elétrica do resistor usando a Lei de Ohm. A forma prática da Lei de Ohm que relaciona tensão, corrente e resistência é:
V=R\cdot I,
onde \,R é a resistência em ohms ( \Omega). Isolando \,R:
R=\frac{V}{I}.
Substituímos os valores já conhecidos ( V=220\\ \mathrm{V} e I=10\\ \mathrm{A}):
R=\frac{220}{10}.
Calcule:
R=22\\ \Omega.

Passo 4

Para achar o comprimento do fio precisamos relacionar resistência elétrica, resistividade (ou condutividade) e geometria do fio. A fórmula que liga resistência R, resistividade \rho, comprimento L e área da seção transversal A é:
R=\rho\frac{L}{A}.
Aqui:
  • \,R é a resistência em ohms,
  • \,\rho é a resistividade do material em \Omega\cdot\mathrm{m},
  • \,L é o comprimento do fio em metros,
  • \,A é a área da seção transversal em metros quadrados.
Como o enunciado deu a condutividade \sigma (em vez da resistividade), usamos a relação entre condutividade e resistividade:
\rho=\frac{1}{\sigma}.
Substituímos o valor dado \sigma=2{,}0\times10^{6}\\ (\Omega\\ \mathrm{m})^{-1}:
\rho=\frac{1}{2{,}0\times10^{6}}=0{,}5\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
É preferível escrever num único expoente:
\rho=5{,}0\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Explicação rápida: condutividade alta significa resistividade baixa; invertendo a condutividade obtemos a resistividade que entra na fórmula da resistência geométrica.

Passo 5

Convém converter a área dada em \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2. O enunciado deu:
A_{\text{mm}^2}=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}^2.
Sabemos que 1\\ \mathrm{mm}^2=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2. Então
A = 5{,}0\times10^{-2}\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 5{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2.
Sempre importante fazer essa conversão para trabalhar com unidades SI (metros).

Passo 6

Isolamos o comprimento L na fórmula R=\rho\frac{L}{A}:
L = \frac{R\,A}{\rho}.
Agora substituímos os valores numéricos que já encontramos:
R=22\\ \Omega,\qquad A=5{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2,\qquad \rho=5{,}0\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Fazendo a conta:
L=\frac{22\cdot 5{,}0\times10^{-8}}{5{,}0\times10^{-7}}.
Podemos simplificar \,5{,}0\times10^{-8} sobre \,5{,}0\times10^{-7} que dá 10^{-1}=0{,}1. Assim
L=22\times 0{,}1 = 2{,}2\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com esse fio de seção e condutividade dadas, precisamos de pouco mais de 2 metros para alcançar 22\\ \Omega.

Passo 7

Resumo rápido (sem repetir explicação detalhada): encontramos a corrente necessária, a resistência correspondente e o comprimento do fio aplicando as fórmulas básicas P=VI, V=RI e R=\rho L/A, com conversões de unidades obedecendo o SI. Você já fez os passos essenciais que usaria numa prova — bem feito por ter pedido a resolução passo a passo!

Resposta

\displaystyle I=10\\ \mathrm{A}
\displaystyle R=22\\ \Omega
\displaystyle L=2{,}2\\ \mathrm{m}

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