Uma pessoa tem em sua casa um chuveiro elétrico cujo desempenho está insatisfatório. Supondo que a tensão elétrica não possa ser alterada, o procedimento que permitiria obter um melhor aquecimento da água é
a) associar uma nova resistência em série com a resistência já existente no chuveiro.
b) aumentar o volume de água que passa pelo chuveiro.
c) substituir a resistência do chuveiro por outra que tenha o mesmo comprimento da original e metade da espessura.
d) substituir a resistência do chuveiro por outra que tenha o dobro do comprimento e o dobro da espessura da original.
e) substituir a resistência por outra que tenha o dobro do comprimento e metade da espessura.

Passo 1

O enunciado pede: mantendo a tensão elétrica fixa, escolher qual procedimento entre as alternativas (a)–(e) melhora o aquecimento da água no chuveiro. Informações dadas e opções relevantes:
  • A tensão elétrica \,V\, do circuito não pode ser alterada.
  • O que queremos é obter maior aquecimento da água (ou seja, maior elevação de temperatura da água que passa pelo chuveiro).
  • Alternativas:
    a) associar uma nova resistência em série com a resistência já existente;
    b) aumentar o volume de água que passa pelo chuveiro;
    c) substituir a resistência por outra com o mesmo comprimento e metade da espessura;
    d) substituir por outra com o dobro do comprimento e o dobro da espessura;
    e) substituir por outra com o dobro do comprimento e metade da espessura.

Passo 2

Conceito-chave: potência térmica dissipada pela resistência elétrica. Começamos sabendo que a potência elétrica entregue pela resistência é dada por \,P=VI\, (potência = tensão vezes corrente). Usando a lei de Ohm \,V=IR (onde \,R\, é a resistência), substituímos para eliminar a corrente:
P = V I
I=\frac{V}{R}
P = V\left(\frac{V}{R}\right)
P = \frac{V^{2}}{R}.
Aqui:
  • \,P\, é a potência (energia por unidade de tempo) dissipada na resistência;
  • \,V\, é a tensão elétrica aplicada (fixa no enunciado);
  • \,R\, é a resistência elétrica do chuveiro.
Conclusão desta etapa: com \,V\, fixo, a potência \,P\, é inversamente proporcional à resistência \,R. Ou seja, para aumentar \,P\, (mais aquecimento) devemos diminuir \,R.

Passo 3

Conceito sobre resistência elétrica do fio: a resistência de um fio homogêneo é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \,\rho\, é a resistividade do material (constante do material do fio);
  • \,L\, é o comprimento do fio;
  • \,A\, é a área da seção transversal do fio.
Se o fio for circular (caso usual), a área se relaciona com o diâmetro \,d\, por
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Observação sobre o termo “espessura”: o enunciado usa “espessura”. Para fazer cálculos claros, vou interpretar “espessura” como o diâmetro do fio (interpretação comum em problemas de resistência de fios). Se alguém interpretasse “espessura” diretamente como área, basta ajustar os fatores; eu explicarei com a interpretação por diâmetro porque a relação A\propto d^{2} mostra bem os efeitos de dobrar/metadear a espessura.
Combinando, mudanças em \,L\, e em \,d\, afetam \,R\, assim:
  • dobrar L multiplica R por 2;
  • dobrar d multiplica A por 4 (porque d^{2}), portanto divide R por 4;
  • metade de d divide A por 4, portanto multiplica R por 4.

Passo 4

Analisando a alternativa (a): associar uma nova resistência em série.
  • Resistências em série somam: R_{\text{total}}=R+R_{\text{nova}}>R.
  • Como \,V é fixo, \,P=\dfrac{V^{2}}{R_{\text{total}}} diminui se R_{\text{total}} aumenta.
    Conclusão: (a) reduz a potência e piora o aquecimento.

Passo 5

Analisando a alternativa (b): aumentar o volume (ou vazão) de água que passa pelo chuveiro.
  • Relação entre potência e aquecimento da água: a potência fornece energia térmica que aquece a água com vazão mássica \,\dot{m}:
P=\dot{m}\,c\,\Delta T,
onde \,c\, é o calor específico da água e \,\Delta T\, a elevação de temperatura. Assim
\Delta T=\frac{P}{\dot{m}\,c}.
  • Com \,P fixo, aumentar \dot{m} reduz \Delta T. Ou seja, maior vazão → água menos aquecida.
    Conclusão: (b) piora o aquecimento (ou, no máximo, reduz a temperatura da água que sai).

Passo 6

Analisando a alternativa (c): substituir por outra com mesmo comprimento e metade da espessura (interpretando “metade da espessura” como metade do diâmetro, d'=\tfrac{d}{2}).
  • Nova área A'=\dfrac{\pi (d')^{2}}{4}=\dfrac{\pi (d/2)^{2}}{4}=\dfrac{1}{4}\dfrac{\pi d^{2}}{4}=\dfrac{A}{4}.
  • Nova resistência R'=\rho\frac{L}{A'}=\rho\frac{L}{A/4}=4\left(\rho\frac{L}{A}\right)=4R.
  • Com \,V fixo, nova potência P'=\dfrac{V^{2}}{R'}=\dfrac{V^{2}}{4R}=\dfrac{P}{4}.
    Conclusão: (c) aumenta muito a resistência e reduz a potência a 1/4 → piora o aquecimento.

Passo 7

Analisando a alternativa (d): substituir por outra com o dobro do comprimento e o dobro da espessura (interpretando “dobro da espessura” como dobro do diâmetro, L'=2L,\;d'=2d).
  • Nova área A'=\dfrac{\pi (d')^{2}}{4}=\dfrac{\pi (2d)^{2}}{4}=4\left(\dfrac{\pi d^{2}}{4}\right)=4A.
  • Nova resistência R'=\rho\frac{L'}{A'}=\rho\frac{2L}{4A}=\frac{1}{2}\rho\frac{L}{A}=\frac{R}{2}.
  • Nova potência P'=\dfrac{V^{2}}{R'}=\dfrac{V^{2}}{R/2}=2\cdot\frac{V^{2}}{R}=2P.
    Conclusão: (d) reduz a resistência à metade e dobra a potência — isso melhora o aquecimento da água.

Passo 8

Analisando a alternativa (e): substituir por outra com o dobro do comprimento e metade da espessura (interpretando metade da espessura como metade do diâmetro, L'=2L,\;d'=\tfrac{d}{2}).
  • Nova área A'=\dfrac{\pi (d')^{2}}{4}=\dfrac{A}{4}.
  • Nova resistência R'=\rho\frac{2L}{A/4}=8\left(\rho\frac{L}{A}\right)=8R.
  • Nova potência P'=\dfrac{V^{2}}{8R}=\dfrac{P}{8}.
    Conclusão: (e) aumenta muito a resistência e reduz muito a potência → piora o aquecimento.

Passo 9

Comparando todas as alternativas:
  • (a) aumenta R → piora;
  • (b) aumenta vazão → reduz \Delta T → piora;
  • (c) aumenta R para 4R → piora;
  • (d) resulta em R'=\tfrac{R}{2} e P'=2P → melhora significativamente;
  • (e) aumenta R fortemente → piora.
Portanto a alternativa que permite obter um melhor aquecimento da água, mantendo a tensão fixa, é a alternativa (d). Força aí — essa alteração (diminuir resistência aumentando seção do fio mais do que o comprimento) é a que aumenta a potência dissipada.

Resposta

d)

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