Um aluno responde a uma questão de múltipla escolha com quatro alternativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de
. Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por “cola”.
(a) Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
(b) Se o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter “chutado” a resposta?
(a) Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
(b) Se o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter “chutado” a resposta?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- A probabilidade de o aluno saber a resposta é
(ou ). - Se ele sabe a resposta, ele acerta com certeza (probabilidade
). - Se ele não sabe a resposta, ele chuta entre quatro alternativas (uma correta) — então, dado que não sabe, a probabilidade de acertar ao chutar é
. - Logo, a probabilidade de não saber é
.
- A probabilidade de o aluno saber a resposta é
- Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
(b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter chutado a resposta?
Passo 2
Calcular a probabilidade de ele acertar usando a ideia de casos (lei da probabilidade total). Explicando a ideia: o evento “acertar” pode acontecer por dois caminhos mutuamente exclusivos — (i) ele sabe e aí acerta automaticamente; (ii) ele não sabe e acerta por chute. Podemos somar as probabilidades desses caminhos porque são disjuntos. Escrevendo em fórmula:
Agora substituo os números que temos:
Faço as contas passo a passo sem calculadora:
. Então
Como fração exata:
, então
. Em porcentagem:
.
Passo 3
Agora a parte (b): queremos
, ou seja, dada a informação de que ele acertou, qual a probabilidade de ele ter chutado. Aqui usamos o Teorema de Bayes em forma intuitiva: a probabilidade de que o acerto tenha vindo do chute é a razão entre a probabilidade do caminho “não sabe e acerta” e a probabilidade total de “acertar”. Em fórmula:
Substituindo valores:
Já calculamos
. Então
Como decimal aproximado:
, ou seja aproximadamente
.
Passo 4
Interpretação rápida para fixar: dos acertos totais (que ocorrem com probabilidade
), uma fração
vem de acertos por chute — isso soa razoável porque o aluno não sabe com probabilidade maior (
), mas chutar acerta raramente (
), então parte, mas não a maioria, dos acertos vem do chute. Força aí — esse tipo de cálculo cai muito em prova e é só aplicar a soma de casos e Bayes.
Resposta
(a)
(b)
(b)