Um aluno responde a uma questão de múltipla escolha com quatro alternativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30 \%. Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por “cola”.
(a) Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
(b) Se o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter “chutado” a resposta?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • A probabilidade de o aluno saber a resposta é 0,30 (ou 30\%).
    • Se ele sabe a resposta, ele acerta com certeza (probabilidade 1).
    • Se ele não sabe a resposta, ele chuta entre quatro alternativas (uma correta) — então, dado que não sabe, a probabilidade de acertar ao chutar é \dfrac{1}{4}.
    • Logo, a probabilidade de não saber é 1-0,30=0,70.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a probabilidade de ele acertar a questão?
    (b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter chutado a resposta?

Passo 2

Calcular a probabilidade de ele acertar usando a ideia de casos (lei da probabilidade total). Explicando a ideia: o evento “acertar” pode acontecer por dois caminhos mutuamente exclusivos — (i) ele sabe e aí acerta automaticamente; (ii) ele não sabe e acerta por chute. Podemos somar as probabilidades desses caminhos porque são disjuntos. Escrevendo em fórmula:
P(\text{acertar}) = P(\text{sabe})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{sabe}) + P(\text{não sabe})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{não sabe}).ãã
Agora substituo os números que temos:
P(\text{acertar}) = 0,30\cdot 1 + 0,70\cdot \dfrac{1}{4}.
Faço as contas passo a passo sem calculadora: 0,70\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{70}{100}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{70}{400}=\dfrac{7}{40}=0,175. Então
P(\text{acertar}) = 0,30 + 0,175 = 0,475.
Como fração exata: 0,30 = \dfrac{12}{40}, então P(\text{acertar})=\dfrac{12}{40}+\dfrac{7}{40}=\dfrac{19}{40}. Em porcentagem: 47,5\%.

Passo 3

Agora a parte (b): queremos P(\text{chutou}\mid \text{acertou}), ou seja, dada a informação de que ele acertou, qual a probabilidade de ele ter chutado. Aqui usamos o Teorema de Bayes em forma intuitiva: a probabilidade de que o acerto tenha vindo do chute é a razão entre a probabilidade do caminho “não sabe e acerta” e a probabilidade total de “acertar”. Em fórmula:
P(\text{chutou}\mid\text{acertou})=\dfrac{P(\text{não sabe})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{não sabe})}{P(\text{acertar})}.ãã
Substituindo valores:
P(\text{chutou}\mid\text{acertou})=\dfrac{0,70\cdot \dfrac{1}{4}}{0,475}.
Já calculamos 0,70\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{40}. Então
P(\text{chutou}\mid\text{acertou})=\dfrac{\dfrac{7}{40}}{\dfrac{19}{40}}=\dfrac{7}{19}.
Como decimal aproximado: \dfrac{7}{19}\approx 0,368421\ldots, ou seja aproximadamente 36,84\%.

Passo 4

Interpretação rápida para fixar: dos acertos totais (que ocorrem com probabilidade 47,5\%), uma fração \dfrac{7}{19} vem de acertos por chute — isso soa razoável porque o aluno não sabe com probabilidade maior ( 70\%), mas chutar acerta raramente ( 25\%), então parte, mas não a maioria, dos acertos vem do chute. Força aí — esse tipo de cálculo cai muito em prova e é só aplicar a soma de casos e Bayes.

Resposta

(a) P(\text{acertar})=0,475=\dfrac{19}{40}=47,5\%
(b) P(\text{chutou}\mid\text{acertou})=\dfrac{7}{19}\approx0,3684\approx36,84\%

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