Joga-se um dado duas vezes. Considere os seguintes eventos:
-
“resultado do primeiro lançamento é par”
-
“soma dos resultados é par”.
Os eventos
e
são independentes? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras e pede para verificar independência:
- Evento
: “resultado do primeiro lançamento é par”. - Evento
: “soma dos resultados é par”.
O que precisa ser respondido: “Os eventos
e
são independentes?” (com justificativa).
Informações úteis que já temos do enunciado ou que são óbvias:
- Cada lançamento do dado tem
resultados igualmente prováveis: . - O espaço amostral para dois lançamentos ordenados tem
resultados igualmente prováveis. - Em um lançamento, há
resultados pares ( ) e ímpares ( ).
Passo 2
Definição de independência (fórmula e interpretação didática).
- Dois eventos
e são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. - Matematicamente, uma forma equivalente e prática de testar independência é verificar se
- Outra forma equivalente é checar se a probabilidade condicional é igual à marginal:
Vou usar ambas as formas para ficar bem claro.
Passo 3
Calcular
(passo a passo).
- Evento
exige que o primeiro lançamento seja par. Há possibilidades pares para o primeiro lançamento e possibilidades para o segundo, totalizando resultados favoráveis. - Como o total do espaço amostral é
, temos
Explicação curta: a probabilidade de um lançamento ser par é
, logo
.
Passo 4
Calcular
(passo a passo) — quando a soma é par.
- A soma de dois números inteiros é par quando os dois números têm a mesma paridade: ambos pares ou ambos ímpares.
- Número de casos “ambos pares”:
escolhas pares para o primeiro e para o segundo, total . - Número de casos “ambos ímpares”:
escolhas ímpares para o primeiro e para o segundo, total . - Total de resultados favoráveis a
é . - Logo
Breve reforço: por simetria, a soma tem
de chance de ser par.
Passo 5
Calcular
(passo a passo).
-
é o conjunto de resultados em que o primeiro lançamento é par E a soma é par. - Se o primeiro é par, para que a soma seja par o segundo também precisa ser par (par + par = par). Assim ambos lançamentos devem ser pares.
- Número de casos com ambos pares:
. - Portanto
Passo 6
Comparar
com
e concluir.
- Já temos
, e . - Produto:
- Como
, pelos critérios de independência os eventos e são independentes.
Passo 7
Verificação alternativa usando probabilidade condicional (intuição útil para prova).
- Calcule
:
- Como
, a ocorrência de não altera a probabilidade de . Isso reafirma que e são independentes.
Observação intuitiva final (modo amigo): mesmo sabendo que o primeiro é par, o segundo lançamento continua com
de chance de ser par ou ímpar, e a condição “soma par” reduz, dado
, a exigir que o segundo seja par — que tem probabilidade
. Por isso não há influência entre os eventos.
Resposta
Sim. Os eventos são independentes.