Joga-se um dado duas vezes. Considere os seguintes eventos:
  • \mathrm{A}= “resultado do primeiro lançamento é par”
  • \mathrm{B}= “soma dos resultados é par”.
Os eventos A e B são independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras e pede para verificar independência:
  • Evento A: “resultado do primeiro lançamento é par”.
  • Evento B: “soma dos resultados é par”.
O que precisa ser respondido: “Os eventos A e B são independentes?” (com justificativa).
Informações úteis que já temos do enunciado ou que são óbvias:
  • Cada lançamento do dado tem 6 resultados igualmente prováveis: \{1,2,3,4,5,6\}.
  • O espaço amostral para dois lançamentos ordenados tem \,36\, resultados igualmente prováveis.
  • Em um lançamento, há 3 resultados pares ( 2,4,6) e 3 ímpares ( 1,3,5).

Passo 2

Definição de independência (fórmula e interpretação didática).
  • Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro.
  • Matematicamente, uma forma equivalente e prática de testar independência é verificar se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
  • Outra forma equivalente é checar se a probabilidade condicional é igual à marginal:
P(B\mid A)=P(B).
Vou usar ambas as formas para ficar bem claro.

Passo 3

Calcular P(A) (passo a passo).
  • Evento A exige que o primeiro lançamento seja par. Há 3 possibilidades pares para o primeiro lançamento e 6 possibilidades para o segundo, totalizando 3\times6=18 resultados favoráveis.
  • Como o total do espaço amostral é 36, temos
P(A)=\frac{18}{36}=\tfrac{1}{2}.
Explicação curta: a probabilidade de um lançamento ser par é 3/6=\tfrac{1}{2}, logo P(A)=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular P(B) (passo a passo) — quando a soma é par.
  • A soma de dois números inteiros é par quando os dois números têm a mesma paridade: ambos pares ou ambos ímpares.
  • Número de casos “ambos pares”: 3 escolhas pares para o primeiro e 3 para o segundo, total 3\times3=9.
  • Número de casos “ambos ímpares”: 3 escolhas ímpares para o primeiro e 3 para o segundo, total 3\times3=9.
  • Total de resultados favoráveis a B é 9+9=18.
  • Logo
P(B)=\frac{18}{36}=\tfrac{1}{2}.
Breve reforço: por simetria, a soma tem 50\% de chance de ser par.

Passo 5

Calcular P(A\cap B) (passo a passo).
  • A\cap B é o conjunto de resultados em que o primeiro lançamento é par E a soma é par.
  • Se o primeiro é par, para que a soma seja par o segundo também precisa ser par (par + par = par). Assim ambos lançamentos devem ser pares.
  • Número de casos com ambos pares: 3\times3=9.
  • Portanto
P(A\cap B)=\frac{9}{36}=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Comparar P(A\cap B) com P(A)P(B) e concluir.
  • Já temos P(A)=\tfrac{1}{2}, P(B)=\tfrac{1}{2} e P(A\cap B)=\tfrac{1}{4}.
  • Produto:
P(A)\,P(B)=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
  • Como P(A\cap B)=P(A)P(B), pelos critérios de independência os eventos A e B são independentes.

Passo 7

Verificação alternativa usando probabilidade condicional (intuição útil para prova).
  • Calcule P(B\mid A):
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}.
  • Como P(B\mid A)=\tfrac{1}{2}=P(B), a ocorrência de A não altera a probabilidade de B. Isso reafirma que A e B são independentes.
Observação intuitiva final (modo amigo): mesmo sabendo que o primeiro é par, o segundo lançamento continua com 50\% de chance de ser par ou ímpar, e a condição “soma par” reduz, dado A, a exigir que o segundo seja par — que tem probabilidade \tfrac{1}{2}. Por isso não há influência entre os eventos.

Resposta

Sim. Os eventos são independentes.

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