Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule o trabalho realizado pela força
para mover uma partícula sobre uma circunferência centrada na origem e raio 3, no sentido anti-horário.
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule o trabalho realizado pela força
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força dada por
ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência centrada na origem com raio 3, no sentido anti-horário. Aqui, estamos lidando com Cálculo de Trabalho por uma Força em um Campo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma integração de linha, que é basicamente somar todas as pequenas contribuições de trabalho ao longo do caminho percorrido pela partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui,
é a força,
é o caminho, e
é um pequeno deslocamento ao longo do caminho. O ponto
representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 3
Como nosso caminho
é uma circunferência de raio 3 centrada na origem, podemos parametrizar esse caminho usando coordenadas polares. Vamos definir:
Onde
varia de
a
para completar a circunferência no sentido anti-horário.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, o vetor deslocamento infinitesimal. Derivando
e
em relação a
:
Assim,
.
Passo 5
Substituindo
e
na força
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, a integral de linha fica muito mais simples:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao mover a partícula ao longo da circunferência é
unidades de trabalho.