Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule o trabalho realizado pela força
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2),
para mover uma partícula sobre uma circunferência centrada na origem e raio 3, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força dada por ao mover uma partícula ao longo de uma circunferência centrada na origem com raio 3, no sentido anti-horário. Aqui, estamos lidando com Cálculo de Trabalho por uma Força em um Campo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma integração de linha, que é basicamente somar todas as pequenas contribuições de trabalho ao longo do caminho percorrido pela partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, é a força, é o caminho, e é um pequeno deslocamento ao longo do caminho. O ponto representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Como nosso caminho x = 3 cos theta é uma circunferência de raio 3 centrada na origem, podemos parametrizar esse caminho usando coordenadas polares. Vamos definir:
y = 3 sin theta
Onde varia de a para completar a circunferência no sentido anti-horário.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dx = dxdtheta dtheta = -3 sin theta , dtheta , o vetor deslocamento infinitesimal. Derivando dy = dydtheta dtheta = 3 cos theta , dtheta e em relação a :
Assim, .

Passo 5

Substituindo F(x, y) = ( -yx^2+y^2, xx^2+y^2 ) = ( -3 sin theta9, 3 cos theta9 ) = ( -sin theta3, cos theta3 ) e na força :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = ( -sin theta3 )(-3 sin theta , dtheta) + ( cos theta3 )(3 cos theta , dtheta) :
= ( 3 sin^2 theta3 + 3 cos^2 theta3 ) dtheta
= (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta
= 1 cdot dtheta (pois sin^2 theta + cos^2 theta = 1)

Passo 7

Agora, a integral de linha fica muito mais simples:
W = integral0^2pi 1 cdot dtheta = [ theta ]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Resposta

O trabalho realizado pela força ao mover a partícula ao longo da circunferência é unidades de trabalho.

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