Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
51 cdot 2+52 cdot 3+cdots+5n(n+1)+ldots

Passo 1

Temos a série 51cdot 2 + 52cdot 3 + cdots + 5n(n+1) + ldots. O conteúdo aqui é de séries infinitas telescópicas, e vamos usar o Exemplo 1 (séries telescópicas) junto com o Teorema 11.19, que diz que uma série converge se, e somente se, a sequência de suas somas parciais convergir para um valor finito.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo. Queremos achar constantes A e B tais que
5n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando por n(n+1) obtemos 5 = A(n+1) + Bn. Comparando coeficientes resulta em A=5 e B=-5. Logo,
5n(n+1) = 5l(1n - 1n+1r)

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial Sn e vemos o cancelamento telescópico:
Sn = sumk=1^n 5k(k+1) = 5 sumk=1^n l(1k - 1k+1r)
Ao expandir, a maioria dos termos se cancela pairwise, sobrando apenas
Sn = 5 l(1 - 1n+1r)

Passo 4

Para estudar convergência aplicamos o limite quando n to infty:
limntoinfty Sn = limntoinfty 5l(1 - 1n+1r) = 5(1 - 0) = 5

Passo 5

Pelo Teorema 11.19, como a sequência de somas parciais (Sn) converge para 5, concluímos que a série infinita converge, e seu valor é 5.

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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