Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo aqui é de séries infinitas telescópicas, e vamos usar o Exemplo 1 (séries telescópicas) junto com o Teorema 11.19, que diz que uma série converge se, e somente se, a sequência de suas somas parciais convergir para um valor finito.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo. Queremos achar constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
. Comparando coeficientes resulta em
e
. Logo,
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial
e vemos o cancelamento telescópico:
Ao expandir, a maioria dos termos se cancela pairwise, sobrando apenas
Passo 4
Para estudar convergência aplicamos o limite quando
:
Passo 5
Pelo Teorema 11.19, como a sequência de somas parciais
converge para 5, concluímos que a série infinita converge, e seu valor é 5.
Resposta
A série converge e sua soma é 5.