Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Determine a área da parte da superfície
que está acima do triângulo com vértices
e
.
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Determine a área da parte da superfície
Passo 1
Vamos determinar a área da superfície definida por z = x + y² sobre o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1). Esse é um problema de área de superfície de uma função de duas variáveis e vamos usar a fórmula
onde D é a região no plano XY sobre a qual estamos integrando.
Passo 2
Precisamos das derivadas parciais de f(x,y)=x+y². Calculando, temos
Substituindo na fórmula da área, o integrando vira
.
Passo 3
O domínio D é o triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,1). Podemos descrevê-lo como
Passo 4
Montamos a integral de área usando a ordem dx dy:
Como o integrando não depende de x, a integral em x é simples e dá um fator y:
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição u = 2 + 4y², então du = 8y dy, ou y dy = du/8. Quando y=0, u=2; quando y=1, u=6. A integral passa a ser
Passo 6
Simplificando,