Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Determine a área da parte da superfície z=x+y^2 que está acima do triângulo com vértices (0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Vamos determinar a área da superfície definida por z = x + y² sobre o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1). Esse é um problema de área de superfície de uma função de duas variáveis e vamos usar a fórmula
A = integral duplaD raiz1 + fx(x,y)^2 + fy(x,y)^2,dA
onde D é a região no plano XY sobre a qual estamos integrando.

Passo 2

Precisamos das derivadas parciais de f(x,y)=x+y². Calculando, temos
fx = 1,
fy = 2y
Substituindo na fórmula da área, o integrando vira raiz1 + 1^2 + (2y)^2 = raiz2 + 4y^2.

Passo 3

O domínio D é o triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,1). Podemos descrevê-lo como
D = (x,y): 0 <= y <= 1, 0 <= x <= y

Passo 4

Montamos a integral de área usando a ordem dx dy:
A = integraly=0^1 integralx=0^y raiz2 + 4y^2,dx,dy
Como o integrando não depende de x, a integral em x é simples e dá um fator y:
A = integral0^1 yraiz2 + 4y^2,dy

Passo 5

Para calcular integral0^1 yraiz2 + 4y^2,dy fazemos a substituição u = 2 + 4y², então du = 8y dy, ou y dy = du/8. Quando y=0, u=2; quando y=1, u=6. A integral passa a ser
A = integralu=2^6 raizu,duover 8 = 1over 8 integral2^6 u^1/2,du = 1over 8 cdot 2over 3 l[u^3/2r]2^6 = 1over 12l(6^3/2 - 2^3/2r)

Passo 6

Simplificando,
A = 1over 12(6raiz6 - 2raiz2) = raiz6over 2 - raiz2over 6

Resposta

raiz6over 2 - raiz2over 6

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