Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Seja F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j, encontre uma função f tal que f=nabla F. E, calcule a integral de linha ointC F cdot d r, onde C é a parte da espiral parametrizada por
r(t)=e^t cos (t) i+e^t sen(t), 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com Campos Vetoriais, especificamente encontrando uma função potencial tal que . Depois, precisamos calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo de uma curva específica, que é uma parte de uma espiral parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar funções potenciais e como calcular integrais de linha em campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j que satisfaz partial fpartial x = 3 + 2xy e partial fpartial y = x^2 - 3y^2 . Lembra que o gradiente de , , é dado pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Igualando isso ao campo vetorial , temos:

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a f(x, y) = integral (3 + 2xy) , dx = 3x + x^2 y + g(y) para encontrar partial fpartial y = x^2 + g'(y) = x^2 - 3y^2 :
g'(y) = -3y^2 implies g(y) = -y^3 + C
Aqui, f(x, y) = 3x + x^2 y - y^3 é uma função que depende apenas de , já que a derivada parcial em relação a elimina quaisquer termos que não dependam de .
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, já que ela não afeta o gradiente.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr = 0 . Como encontramos que é o gradiente de , é um campo conservativo. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha sobre qualquer caminho fechado é zero.
Matematicamente,
Isso porque, em um campo conservativo, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e como o caminho é fechado, esses pontos coincidem.

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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