Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Seja
, encontre uma função
tal que
. E, calcule a integral de linha
, onde
é a parte da espiral parametrizada por
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com Campos Vetoriais, especificamente encontrando uma função potencial
tal que
. Depois, precisamos calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo de uma curva específica, que é uma parte de uma espiral parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar funções potenciais e como calcular integrais de linha em campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função
que satisfaz
. Lembra que o gradiente de
,
, é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Igualando isso ao campo vetorial
, temos:
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada parcial em relação a
elimina quaisquer termos que não dependam de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, já que ela não afeta o gradiente.
Portanto, a função potencial
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Como encontramos que
é o gradiente de
,
é um campo conservativo. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha sobre qualquer caminho fechado é zero.
Matematicamente,
Isso porque, em um campo conservativo, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e como o caminho é fechado, esses pontos coincidem.
Resposta
A integral de linha
é igual a zero.