Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule calcule
ds para o campo vetorial
onde
é parte do cone
entre os planos
e
, orientada positivamente.
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule calcule
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o campo vetorial
e queremos calcular o fluxo
através de
, que é o trecho do cone
entre os planos
e
, orientado positivamente. O conteúdo é fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência e coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Divergência, fechamos
com os discos superior (
) e inferior (
), obtendo a superfície fechada de uma região
. A orientação positiva significa normal apontando para fora de
. Assim, calculamos a divergência de
:
Passo 3
Agora avaliamos o integral triplo
Fazendo
, fica
Passo 4
Em seguida, calculamos o fluxo pelos discos: no disco superior
,
e
, então
No disco inferior
,
e
, logo
Passo 5
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela superfície fechada é
. Como esse total é a soma dos fluxos pelo cone
e pelos discos, temos
é logo
Resposta
-\nfrac{73\pi}{6}