Aluno:
Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. Justifique com clareza suas respostas. Resolva apenas quatro questões!
Calcule calcule integral duplaS F cdot ds para o campo vetorial
F(x, y, z)=-x i-y j+z^2 k
onde S é parte do cone z=raizx+y^2 entre os planos z=1 e z=2, orientada positivamente.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o campo vetorial F(x,y,z)=(-x,-y,z^2) e queremos calcular o fluxo integral duplaS Fcdot dS através de S, que é o trecho do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=2, orientado positivamente. O conteúdo é fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência e coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, fechamos S com os discos superior ( z=2) e inferior ( z=1), obtendo a superfície fechada de uma região R. A orientação positiva significa normal apontando para fora de R. Assim, calculamos a divergência de F:
nablacdot F = partial (-x)partial x + partial (-y)partial y + partial (z^2)partial z = -1 -1 +2z = 2z -2

Passo 3

Agora avaliamos o integral triplo
integral triplaR (2z-2),dV = integraltheta=0^2pi integralz=1^2 integralr=0^z (2z-2),r,dr,dz,dtheta
Fazendo integral0^z r,dr = z^2/2, fica
2pi integral1^2 (2z-2) z^22 ,dz =2pi integral1^2 (z-1)z^2 ,dz =2pi integral1^2 (z^3 -z^2),dz =2pi l[z^44-z^33r]1^2 =17pi6

Passo 4

Em seguida, calculamos o fluxo pelos discos: no disco superior z=2, n=(0,0,1) e Fcdot n=z^2=4, então
Phitopo=integralx^2+y^2<=44,dA =4cdot picdot2^2=16pi
No disco inferior z=1, n=(0,0,-1) e Fcdot n=-z^2=-1, logo
Phifundo=integralx^2+y^2<=1(-1),dA = -pi

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela superfície fechada é 17pi/6. Como esse total é a soma dos fluxos pelo cone S e pelos discos, temos
PhiS + (16pi -pi) = 17pi6
é logo
PhiS = 17pi6 -15pi = -73pi6

Resposta

-\nfrac{73\pi}{6}

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