1. Um aluno tenta derivar a função x^x usando a regra da derivada de potências, obtendo o resultado errado x cdot x^x-1. Um outro aluno tenta derivar x^x tratando-a como uma função exponencial, obtendo o resultado errado (ln x) x^x. Use a regra da cadeia para explicar por que a derivada correta é a soma desses dois resultados errados.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=x^x e quer entender por que o resultado correto é a soma dos dois resultados obtidos incorretamente pelos alunos. Aqui vamos usar a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do produto.

Passo 2

Primeiro escrevemos x^x como uma exponencial genérica: x^x = e^xln x. Para derivar esse tipo de função, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^u(x) é e^u(x),u'(x).

Passo 3

Definimos u(x)=xln x. Agora usamos a regra do produto para calcular u'(x):
u'(x)=ddx(x)cdotln x + xcdotddx(ln x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x + 1

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia, temos
f'(x)=e^xln x,(ln x+1)=x^x(ln x+1)

Passo 5

Por fim, separamos a soma em dois termos:
x^x(ln x+1)=(ln x),x^x + 1cdot x^x=(ln x),x^x + xcdot x^x-1,que são exatamente os dois resultados errados somados.

Resposta

f'(x)=x^x(ln x+1)=xcdot x^x-1 + (ln x),x^x

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