Os alunos do Cursinho A tiraram nota média na prova de matemática do vestibular de 5,5 com desvio padrão de 2. Seleciona-se uma amostra aleatórias de 35 alunos do Cursinho A. Qual a probabilidade de que a média da amostra seja maior que 7 ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos dizendo. Temos que a média das notas dos alunos do Cursinho A é 5,5, com um desvio padrão de 2. Queremos saber a probabilidade de, ao selecionar uma amostra aleatória de 35 alunos, a média dessa amostra seja maior que 7. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente a distribuição da média amostral e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
onde
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,338.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor-z, que nos ajuda a encontrar a posição da média desejada (7) em relação à média da população. A fórmula do valor-z é:
onde
é a média da amostra,
é a média da população e
é o erro padrão.
Passo 5
Substituindo os valores:
O valor-z é aproximadamente 4,43.
Passo 6
Com o valor-z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na tabela da distribuição normal padrão. Um z de 4,43 é muito alto, o que significa que a probabilidade de a média da amostra ser maior que 7 é extremamente baixa.
Passo 7
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, vemos que para z = 4,43, a probabilidade acumulada é quase 1 (ou 100%). Portanto, a probabilidade de a média ser menor que 7 é praticamente 100%, o que implica que a probabilidade de ser maior que 7 é quase 0%.
Resposta
A probabilidade de que a média da amostra seja maior que 7 é aproximadamente 0,00002 ou 0,002%.