A distribuição dos tempos gastos por clientes de uma agência bancária nos seus caixas eletrônicos é aproximadamente normal com média de 3,4 minutos e desvio padrão de 1,2 minuto. Em um dado momento, encontram-se 9 clientes usando caixas eletrônicos na agência bancária. Qual a probabilidade de que o seu tempo médio de uso dos caixas eletrônicos seja maior que 4 minutos? E qual a probabilidade de que ele seja menor que 2 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quanto tempo os clientes gastam usando caixas eletrônicos em um banco. A distribuição desses tempos é normal, com uma média de 3,4 minutos e um desvio padrão de 1,2 minuto. Temos 9 clientes usando os caixas eletrônicos ao mesmo tempo. A gente precisa descobrir a probabilidade de que o tempo médio que esses 9 clientes gastam seja maior que 4 minutos e também a probabilidade de ser menor que 2 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a média do tempo dos 9 clientes se comporta. Como a distribuição é normal, a média amostral também será normal. A média da média amostral ( sigmabarX = sigmaraizn = 1,2raiz9 = 1,23 = 0,4 ) é igual à média da população, que é 3,4 minutos. O desvio padrão da média amostral ( ) é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de o tempo médio ser maior que 4 minutos. Para isso, precisamos encontrar o valor z correspondente. A fórmula para encontrar o z é:
z = barX - mubarXsigmabarX
Substituindo os valores:
z = 4 - 3,40,4 = 0,60,4 = 1,5

Passo 4

Com o valor de z = 1,5, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a probabilidade de um valor ser menor que z. Então, P(Z < 1,5) ≈ 0,9332. Mas queremos a probabilidade de ser maior que 4 minutos, ou seja, P(Z > 1,5). Então:
P(Z > 1,5) = 1 - P(Z < 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668
Isso significa que há aproximadamente 6,68% de chance do tempo médio ser maior que 4 minutos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de o tempo médio ser menor que 2 minutos. Usamos a mesma fórmula para encontrar z:
z = 2 - 3,40,4 = -1,40,4 = -3,5
Consultando a tabela da distribuição normal para z = -3,5, encontramos que P(Z < -3,5) ≈ 0,0002. Isso significa que há aproximadamente 0,02% de chance do tempo médio ser menor que 2 minutos.

Resposta

A probabilidade de o tempo médio de uso dos caixas eletrônicos ser maior que 4 minutos é de aproximadamente 6,68%, e a probabilidade de ser menor que 2 minutos é de cerca de 0,02%.

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