Os alunos de uma escola irão fretar um ônibus com 50 lugares para um passeio ao jardim zoológico. Cada aluno deverá pagar R \ 40,00 , maisR $2,00$ para cada lugar vago. Para que quantidade de passageiros a empresa terá receita máxima?
а) 35 .
b) 37 .
c) 39 .
d) 43 .

Passo 1

O enunciado diz que há um ônibus com 50 lugares e que, se x alunos comprarem assento, cada um paga uma tarifa de R\$40 acrescida de R\$2 para cada lugar vago. O conteúdo é otimização de função quadrática: vamos modelar a receita em função de x e usar a fórmula do vértice para encontrar o máximo.

Passo 2

Seja x o número de passageiros. Então o número de lugares vagos é 50 - x. Como cada aluno paga R\$40 mais R\$2 por cada lugar vazio, o preço por aluno é
p(x) = 40 + 2\,(50 - x) = 40 + 100 - 2x = 140 - 2x.
A receita total R(x) é o produto do número de passageiros pelo preço unitário:
R(x) = x \cdot p(x) = x\,(140 - 2x) = 140x - 2x^2.

Passo 3

Trata-se de uma parábola com coeficiente quadrático a = -2 e linear b = 140. O vértice dessa parábola, onde ocorre o máximo, está em
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{140}{2\cdot(-2)} = \frac{140}{4} = 35.

Passo 4

Portanto, a receita é máxima quando x = 35 alunos viajam no ônibus.

Resposta

(a) 35.

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