(AMA 2023) Pedro foi a uma loja comprar duas lâmpadas de tipos diferentes. Antes de comprá-las, Pedro pegou uma lâmpada do tipo 1, dentre as 8 lâmpadas que estavam expostas, e uma lâmpada do tipo 2 , dentre as 10 lâmpadas que estavam expostas, para testá-las. Dessas lâmpadas expostas, havia duas do tipo 1 e três do tipo 2 que estavam com defeito. Qual é a probabilidade de ambas as lâmpadas que Pedro pegou para testar estarem com defeito?
A) 6 / 80
B) 6 / 42
C) 5 / 18
D) 42 / 80
E) 3 / 40

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pedro pega uma lâmpada do tipo 1 entre as 8 lâmpadas expostas do tipo 1, das quais 2 estão com defeito.
  • Pedro pega uma lâmpada do tipo 2 entre as 10 lâmpadas expostas do tipo 2, das quais 3 estão com defeito.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de ambas as lâmpadas que Pedro pegou para testar estarem com defeito?

Passo 2

Defino os eventos que vou usar (isso ajuda a organizar a ideia):
  • A: “a lâmpada do tipo 1 que Pedro pegou está com defeito”.
  • B: “a lâmpada do tipo 2 que Pedro pegou está com defeito”.
Regra básica que vou usar agora: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
\text{Probabilidade}=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú

Passo 3

Calcular \Pr(A), a probabilidade de a lâmpada do tipo 1 estar defeituosa. Há 2 lâmpadas defeituosas entre 8 possíveis, logo
\Pr(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Explicação simples: ao escolher uma entre 8 igualmente prováveis, 2 são “sucesso” (defeito), então a fração é 2/8.

Passo 4

Calcular \Pr(B), a probabilidade de a lâmpada do tipo 2 estar defeituosa. Há 3 defeituosas entre 10, logo
\Pr(B)=\frac{3}{10}.
Mesma lógica: 3 casos favoráveis dentre 10.

Passo 5

Justificar que posso multiplicar as probabilidades. Aqui os dois sorteios são independentes porque Pedro escolhe uma lâmpada do tipo 1 e uma do tipo 2 em conjuntos diferentes; a escolha numa categoria não altera as quantidades na outra. Para eventos independentes vale a regra do produto:
\Pr(A\\ \text{e}\\ B)=\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B).
Isso é uma fórmula fundamental: quando um evento não altera a chance do outro, multiplicamos as probabilidades.

Passo 6

Aplicando a fórmula do passo anterior:
\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{40}.

Passo 7

Verificação alternativa (contagem combinatória, para reforçar): número de formas de escolher uma lâmpada defeituosa do tipo 1 é \binom{2}{1}=2; do tipo 2 é \binom{3}{1}=3. Assim casos favoráveis =2\cdot3=6. Número total de pares possíveis (uma da primeira e uma da segunda) é 8\cdot10=80. Portanto a probabilidade é
\frac{6}{80}=\frac{3}{40},
o que coincide com o resultado do cálculo direto.

Resposta

\dfrac{3}{40}

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