(AMA 2023) Pedro foi a uma loja comprar duas lâmpadas de tipos diferentes. Antes de comprá-las, Pedro pegou uma lâmpada do tipo 1, dentre as 8 lâmpadas que estavam expostas, e uma lâmpada do tipo 2 , dentre as 10 lâmpadas que estavam expostas, para testá-las. Dessas lâmpadas expostas, havia duas do tipo 1 e três do tipo 2 que estavam com defeito. Qual é a probabilidade de ambas as lâmpadas que Pedro pegou para testar estarem com defeito?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Pedro pega uma lâmpada do tipo 1 entre as
lâmpadas expostas do tipo 1, das quais estão com defeito. - Pedro pega uma lâmpada do tipo 2 entre as
lâmpadas expostas do tipo 2, das quais estão com defeito. - Pergunta: qual é a probabilidade de ambas as lâmpadas que Pedro pegou para testar estarem com defeito?
Passo 2
Defino os eventos que vou usar (isso ajuda a organizar a ideia):
-
: “a lâmpada do tipo 1 que Pedro pegou está com defeito”. -
: “a lâmpada do tipo 2 que Pedro pegou está com defeito”.
Regra básica que vou usar agora: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Passo 3
Calcular
, a probabilidade de a lâmpada do tipo 1 estar defeituosa. Há
lâmpadas defeituosas entre
possíveis, logo
Explicação simples: ao escolher uma entre 8 igualmente prováveis, 2 são “sucesso” (defeito), então a fração é
.
Passo 4
Calcular
, a probabilidade de a lâmpada do tipo 2 estar defeituosa. Há
defeituosas entre
, logo
Mesma lógica: 3 casos favoráveis dentre 10.
Passo 5
Justificar que posso multiplicar as probabilidades. Aqui os dois sorteios são independentes porque Pedro escolhe uma lâmpada do tipo 1 e uma do tipo 2 em conjuntos diferentes; a escolha numa categoria não altera as quantidades na outra. Para eventos independentes vale a regra do produto:
Isso é uma fórmula fundamental: quando um evento não altera a chance do outro, multiplicamos as probabilidades.
Passo 6
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Passo 7
Verificação alternativa (contagem combinatória, para reforçar): número de formas de escolher uma lâmpada defeituosa do tipo 1 é
; do tipo 2 é
. Assim casos favoráveis
. Número total de pares possíveis (uma da primeira e uma da segunda) é
. Portanto a probabilidade é
o que coincide com o resultado do cálculo direto.